Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
N(X)=0 Leftrightarrow X=R

Passo 1

O enunciado diz que E=F(R;R) é o espaço de todas as funções reais em R. Dado um subconjunto XsubsetR, definimos
N(X)=varphiin E:varphi(x)=0 para todo xin X
Queremos mostrar que
N(X)=0Leftrightarrow X=R
O conteúdo principal é raciocinar sobre o “espaço nulo” de funções que se anulam em X, e usar um argumento de construção explícita quando XneqR.

Passo 2

Mostramos primeiro que se X=R então N(X)=0. De fato, se X=R então
N(R) =varphiin E:varphi(x)=0 forall,xinR
é precisamente o conjunto de todas as funções que são zero em todo ponto de R. Mas há exatamente uma função assim, a função identicamente zero. Logo
N(R)=0

Passo 3

Agora mostramos que se
Essa e satisfaz para todo , logo . Mas , então não é a função zero. Portanto contém um elemento não nulo e assim

Passo 4

Reunindo as duas direções:
  • Se X=R então N(X)=0.
  • Se XneqR então N(X)neq0.
Logo concluímos o equivalência desejada:
N(X)=0Leftrightarrow X=R

Resposta

O enunciado está provado: N(X)=0 se, e somente se, X=R.

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