Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço de todas as funções reais em
. Dado um subconjunto
, definimos
Queremos mostrar que
O conteúdo principal é raciocinar sobre o “espaço nulo” de funções que se anulam em
, e usar um argumento de construção explícita quando
.
Passo 2
Mostramos primeiro que se
então
. De fato, se
então
é precisamente o conjunto de todas as funções que são zero em todo ponto de
. Mas há exatamente uma função assim, a função identicamente zero. Logo
Passo 3
Agora mostramos que se
Essa e satisfaz
para todo
, logo
. Mas
, então
não é a função zero. Portanto
contém um elemento não nulo e assim
Passo 4
Reunindo as duas direções:
- Se
então . - Se
então .
Logo concluímos o equivalência desejada:
Resposta
O enunciado está provado:
se, e somente se,
.