Seja T: R^2 R^3 tal que [T]B^A=[cc2 & 0 -2 & -7 4 & 5] com A=(0 ; 3),(-2 ; 0) e B=(3 ;-1 ; 0),(1 ; 2 ; 0),(0 ; 0 ; 1) bases de R^2 e R^3, respectivamente. Encontre a expressão de T(x ; y).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz em relação à base
A=(0,3),,(-2,0)
do domínio e à base
B=(3,-1,0),,(1,2,0),,(0,0,1)
do contradomínio é
[T]B^A = 2 & 0 -2 & -7 4 & 5
Queremos encontrar a expressão de T(x,y) no sistema de coordenadas canônico. Para isso, vamos ( 1) escrever (x,y) em coordenadas de A, ( 2) multiplicar pela matriz, e ( 3) voltar ao sistema canônico usando B.

Passo 2

Primeiro, expressamos
Isso gera o sistema
logo
.
Assim as coordenadas de em são
]

Passo 3

Aplicando a matriz [T]B^A a [v]A, obtemos as coordenadas em B:
[T]B^A,[v]A = 2 & 0 -2 & -7 4 & 5 tfracy3[4pt]-tfracx2 = 2y3[4pt] -2y3+7x2[4pt] 4y3-5x2 =beta1[3pt]beta2[3pt]beta3 ]

Passo 4

Agora reconstituímos T(x,y) no sistema canônico de R^3, pois
T(x,y) =beta1,(3,-1,0)+beta2,(1,2,0)+beta3,(0,0,1)
Somando componente a componente:
Primeira componente:
3beta1+beta2 =3cdot2y3+l(-2y3+7x2r) =2y-2y3+7x2 =4y3+7x2
Segunda componente:
-1cdot2y3+2l(-2y3+7x2r) =-2y3-4y3+7x =-2y+7x
Terceira componente:
beta3=4y3-5x2

Passo 5

Portanto, a fórmula de T no sistema canônico é
T(x,y)=l(tfrac7x2+tfrac4y3,;7x-2y,;-tfrac5x2+tfrac4y3r)

Resposta

T(x,y)=l(tfrac7x2+tfrac4y3,;7x-2y,;-tfrac5x2+tfrac4y3r)

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