Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, ponhamos N(X)=varphi in E ; varphi(x)=0 para todo x in X. Prove:
N(X cup Y)=N(X) cap N(Y)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto
E = F(R;R),
e para qualquer XsubsetR definimos
N(X)=varphiin E mid varphi(x)=0 para todo xin X
O objetivo é mostrar que
N(Xcup Y)=N(X)cap N(Y)
Para provar igualdade de conjuntos, vamos mostrar duas inclusões:
N(Xcup Y)subset N(X)cap N(Y) e N(X)cap N(Y)subset N(Xcup Y)

Passo 2

Provar N(Xcup Y)subset N(X)cap N(Y).
Seja varphiin N(Xcup Y). Então por definição varphi(z)=0 para todo zin Xcup Y. Em particular, todo xin X pertence a Xcup Y, logo varphi(x)=0; isso mostra varphiin N(X). Do mesmo modo, para todo yin Y temos yin Xcup Y, então varphi(y)=0, ou seja, varphiin N(Y). Assim varphiin N(X)cap N(Y).

Passo 3

Provar N(X)cap N(Y)subset N(Xcup Y).
Seja varphiin N(X)cap N(Y). Então varphi(x)=0 para todo xin X e varphi(y)=0 para todo yin Y. Seja agora zin Xcup Y. Por definição de união, ou zin X ou zin Y. Em ambos os casos varphi(z)=0. Logo varphiin N(Xcup Y).

Resposta

Portanto, a partir das duas inclusões temos
N(Xcup Y)=N(X)cap N(Y)

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