Seja
. Para
qualquer, ponhamos
para todo
. Prove:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o conjunto
e para qualquer
definimos
O objetivo é mostrar que
Para provar igualdade de conjuntos, vamos mostrar duas inclusões:
Passo 2
Provar
.
Seja . Então por definição
para todo
. Em particular, todo
pertence a
, logo
; isso mostra
. Do mesmo modo, para todo
temos
, então
, ou seja,
. Assim
.
Seja
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
para todo
e
para todo
. Seja agora
. Por definição de união, ou
ou
. Em ambos os casos
. Logo
.
Seja
Resposta
Portanto, a partir das duas inclusões temos