Seja R a região delimitada pela reta y=x+1 e a parábola y^2=x+1 e S o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido S, utilizando para isso o método das cascas cilíndricas (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

Nesse exercício a gente quer expressar, por meio de uma integral, o volume do sólido S obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada pelas curvas y = x + 1 e y^2 = x + 1. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Vamos achar onde as curvas se encontram: igualando y = x + 1 e y^2 = x + 1 y(y - 1) = 0, ou seja y = 0 e y = 1. Substituindo em x + 1 = y temos x = -1 e x = 0.
Isso mostra que x varia de -1 a 0, e para cada x nesse intervalo a região está entre a curva inferior yinf(x) = x + 1 e a curva superior ysup(x) = raizx + 1.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada retângulo vertical em x gera uma casca de raio igual à distância ao eixo y, ou seja |x| = -x (pois x<=0), altura igual a ysup(x) - yinf(x) = raizx + 1 - (x + 1) e espessura dx.
O volume total do sólido S vem de somar as contribuições dV das cascas de x = -1 até x = 0, ou seja, integrando dV ao longo desse intervalo.

Resposta

V = 2pi integral-1^0 (-x)l(raizx + 1 - (x + 1)r),dx

Exercícios relacionados