Seja R a região delimitada pela reta y=x+1 e a parábola y^2=x+1 e S o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido S, utilizando para isso o método dos cortes transversais ou fatias (Não é necessário calcular a integral);

Passo 1

O enunciado define a região R limitada pelas curvas
y = x + 1
e
y^2 = x + 1,
e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno do eixo y. Vamos usar fatias transversais perpendiculares ao eixo y (método dos discos/anéis).

Passo 2

Expressamos cada curva como x em função de y:
da reta y = x + 1 vem
x = y - 1,
da parábola y^2 = x + 1 vem
x = y^2 - 1
Para encontrar os limites em y, igualamos
y^2 - 1 = y - 1 longrightarrow y(y - 1) = 0 longrightarrow y = 0,;1
Logo, a região está para 0<= y<=1.

Passo 3

Para yin[0,1] temos
xrm parab = y^2 - 1 <= xrm reta = y - 1,
e ambas são negativas. Ao girar em torno de y, as distâncias ao eixo são os valores absolutos:
raio externo R(y)=|xrm parab|=1 - y^2, raio interno r(y)=|xrm reta|=1 - y

Passo 4

A área do anel em cada fatia de espessura dy é
A(y) = pil[R(y)r]^2 - pil[r(y)r]^2 = pil[(1 - y^2)^2 - (1 - y)^2r]
Portanto o volume é
V = integral0^1 A(y),dy = integral0^1 pil[(1 - y^2)^2 - (1 - y)^2r],dy

Resposta

V = integral0^1 pil[(1 - y^2)^2 - (1 - y)^2r],dy

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