Seja R a região delimitada pela reta y=x+1 e a parábola y^2=x+1 e S o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Calcule a área da região R;

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela reta
y = x + 1
e pela parábola
y^2 = x + 1
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração e precisaremos:
  1. encontrar os pontos de interseção;
  2. escolher a variável de integração mais conveniente;
  3. montar e calcular a integral da diferença entre as fronteiras em x.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, escrevemos ambas as curvas em função de x. Da reta temos
x = y - 1,
e da parábola
x = y^2 - 1
Igualando as duas expressões para x:
y - 1 = y^2 - 1 Longrightarrow y^2 - y = 0 Longrightarrow y(y - 1)=0
Logo, y=0 ou y=1. Esses são os limites em y.

Passo 3

Em cada yin[0,1], a fronteira “da esquerda” é dada pela parábola
xesq = y^2 - 1
e a fronteira “da direita” é dada pela reta
xdir = y - 1
Observamos que, para 0<y<1, vale y^2<y, de modo que realmente y^2-1<y-1.

Passo 4

A área A da região é
A = integraly=0^1l(xdir-xesqr),dy = integral0^1l[(y-1)-(y^2-1)r],dy = integral0^1(y - y^2),dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1(y - y^2),dy = [y^22 - y^33]0^1 = 12 - 13 = 16

Resposta

A área da região R é 16.

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