Seja r uma reta paralela a um vetor \vec{v} não nulo e que passe por um ponto P_{0}. Então, para essa reta é possivel determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado fala de uma reta r em \mathbb{R}^3 (ou em \mathbb{R}^n) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e é paralela a um vetor \vec v=(a,b,c)\neq\vec 0. O conteúdo é geometria analítica de retas, e vamos mostrar que a partir de P_0 e \vec v podemos escrever
  1. a equação vetorial;
  2. as equações paramétricas;
  3. a(s) equação(ões) simétrica(s).

Passo 2

Para a equação vetorial, lembramos que todo ponto P da reta satisfaz
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_0}+t\,\vec v,
onde t\in\mathbb{R}. Em forma de vetor posição isso dá
\vec r(t)=\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)+t\,\bigl(a,b,c\bigr).

Passo 3

Da equação vetorial extraímos as equações paramétricas, escrevendo componente a componente:
\begin{cases} x=x_0 + a\,t,\\\ y=y_0 + b\,t,\\\ z=z_0 + c\,t. \end{cases}

Passo 4

Para obter a forma simétrica, isolamos t em cada equação:
t=\frac{x-x_0}{a} =\frac{y-y_0}{b} =\frac{z-z_0}{c}.
Essa expressão vale sempre que a, b e c sejam todos não nulos. Se algum deles for zero, basta usar apenas as frações correspondentes e manter a coordenada constante (por exemplo, se c=0 então z=z_0 e
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}).

Resposta

Verdadeiro

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