Seja R uma reta no plano \pi. A reflexão em torno do eixo R é a transformação \sigma: \pi \rightarrow \pi, que associa a cada ponto X do plano o ponto X^{\prime} tal que R é a mediatriz do segmento X X^{\prime}. Prove que toda reflexão é uma isometria.

Passo 1

O enunciado define a reflexão \sigma em torno de uma reta R\subset\pi, que manda cada ponto X em X'=\sigma(X) de modo que R é mediatriz de XX'. Queremos provar que \sigma é isometria, isto é, para quaisquer X,Y\in\pi vale
d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr)=d(X,Y).
O conteúdo que vamos usar é geometria plana elementar: a reflexão fixa pontos de R, preserva distâncias a pontos de R e transforma raios em seus simétricos, mantendo ângulos em módulo.

Passo 2

Seja P um ponto arbitrário de R. Como R é a mediatriz de XX', qualquer ponto P\in R satisfaz
PX = PX',
pois R é locus dos pontos equidistantes de X e de X'. De modo análogo, como R também bisseta YY', temos
PY = PY'.

Passo 3

Considere agora os triângulos \triangle XPY e \triangle X'PY'. Já sabemos que
PX = PX' \quad\text{e}\quad PY = PY'.
Falta comparar o ângulo em P. Como reflexão em R manda o raio PX no raio PX' e o raio PY no raio PY', os ângulos formados com vértice em P satisfazem
\angle XPY = \angle X'PY' \quad(\text{em módulo}),ó
pois a reflexão preserva a medida dos ângulos entre raios que partem de um ponto sobre o eixo de reflexão.

Passo 4

Pelo critério LAL (lado-ângulo-lado), os triângulos \triangle XPY e \triangle X'PY' são congruentes. Da congruência segue que
XY = X'Y'.
Isto mostra exatamente que
d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr)=d(X',Y')=d(X,Y),
ou seja, \sigma preserva distâncias.

Resposta

Toda reflexão em torno de uma reta é isometria, pois para quaisquer X,Y\in\pi temos
d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr)=d(X,Y).

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