Seja
uma reta no plano
. A reflexão em torno do eixo
é a transformação
, que associa a cada ponto
do plano o ponto
tal que
é a mediatriz do segmento
. Prove que toda reflexão é uma isometria.
Passo 1
O enunciado define a reflexão
em torno de uma reta
, que manda cada ponto
em
de modo que
é mediatriz de
. Queremos provar que
é isometria, isto é, para quaisquer
vale
O conteúdo que vamos usar é geometria plana elementar: a reflexão fixa pontos de
, preserva distâncias a pontos de
e transforma raios em seus simétricos, mantendo ângulos em módulo.
Passo 2
Seja
um ponto arbitrário de
. Como
é a mediatriz de
, qualquer ponto
satisfaz
pois
é locus dos pontos equidistantes de
e de
. De modo análogo, como
também bisseta
, temos
Passo 3
Considere agora os triângulos
e
. Já sabemos que
Falta comparar o ângulo em
. Como reflexão em
manda o raio
no raio
e o raio
no raio
, os ângulos formados com vértice em
satisfazem
pois a reflexão preserva a medida dos ângulos entre raios que partem de um ponto sobre o eixo de reflexão.
Passo 4
Pelo critério LAL (lado-ângulo-lado), os triângulos
e
são congruentes. Da congruência segue que
Isto mostra exatamente que
ou seja,
preserva distâncias.
Resposta
Toda reflexão em torno de uma reta é isometria, pois para quaisquer
temos