Se \sigma: F \rightarrow F^{\prime} e \sigma^{\prime}: F^{\prime} \rightarrow F^{\prime \prime} são semelhanças de razão r e r^{\prime}, respectivamente, então a função composta \sigma \circ \sigma^{\prime}: F \rightarrow F^{\prime \prime} é uma semelhança de razão r r^{\prime} e a função inversa \sigma^{-1}: F^{\prime} \rightarrow F é uma semelhança de razão 1 / r.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades das semelhanças em espaços métricos (tipicamente planos ou espaciais). Primeiro, que a composição de duas semelhanças de razões r e r' é uma semelhança de razão r\,r'. Segundo, que a inversa de uma semelhança de razão r é uma semelhança de razão 1/r. Vamos usar a definição: uma aplicação \sigma\colon F\to F' é semelhança de razão r>0 se, para quaisquer pontos X,Y\in F, vale
d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr)=r\;d(X,Y),
onde d é a distância no espaço.

Passo 2

Sejam \sigma\colon F\to F' e \sigma'\colon F'\to F'' semelhanças de razões r e r', respectivamente. Tomemos dois pontos quaisquer X,Y\in F. Então, primeiro aplicamos \sigma e depois \sigma'. Pela definição de semelhança, temos
d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr) =r\,d(X,Y),
e em seguida
d\bigl(\sigma'(\sigma(X)),\sigma'(\sigma(Y))\bigr) =r'\;d\bigl(\sigma(X),\sigma(Y)\bigr).
Substituindo a primeira igualdade na segunda, obtemos
d\bigl((\sigma'\circ\sigma)(X),(\sigma'\circ\sigma)(Y)\bigr) =r'\bigl(r\,d(X,Y)\bigr) =(r\,r')\,d(X,Y).
Isso mostra que \sigma'\circ\sigma é semelhança de razão r\,r'.

Passo 3

Agora seja \sigma\colon F\to F' uma semelhança de razão r. Queremos mostrar que sua inversa \sigma^{-1}\colon F'\to F satisfaz
d\bigl(\sigma^{-1}(P'),\sigma^{-1}(Q')\bigr) =\frac1r\,d(P',Q')
para quaisquer P',Q'\in F'. Como \sigma é bijetora, existem P,Q\in F tais que P'=\sigma(P) e Q'=\sigma(Q). Da semelhança original vem
d(P',Q')=d\bigl(\sigma(P),\sigma(Q)\bigr) =r\,d(P,Q).
Logo
d\bigl(\sigma^{-1}(P'),\sigma^{-1}(Q')\bigr) =d(P,Q) =\frac1r\,d(P',Q'),
mostrando que \sigma^{-1} é semelhança de razão 1/r.

Resposta

A composição \sigma'\circ\sigma é semelhança de razão r\,r' e a inversa \sigma^{-1} é semelhança de razão 1/r.

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