Se
são semelhanças de razão
e
, respectivamente, então a função composta
é uma semelhança de razão
e a função inversa
é uma semelhança de razão
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades das semelhanças em espaços métricos (tipicamente planos ou espaciais). Primeiro, que a composição de duas semelhanças de razões
e
é uma semelhança de razão
. Segundo, que a inversa de uma semelhança de razão
é uma semelhança de razão
. Vamos usar a definição: uma aplicação
é semelhança de razão
se, para quaisquer pontos
, vale
onde
é a distância no espaço.
Passo 2
Sejam
e
semelhanças de razões
e
, respectivamente. Tomemos dois pontos quaisquer
. Então, primeiro aplicamos
e depois
. Pela definição de semelhança, temos
e em seguida
Substituindo a primeira igualdade na segunda, obtemos
Isso mostra que
é semelhança de razão
.
Passo 3
Agora seja
uma semelhança de razão
. Queremos mostrar que sua inversa
satisfaz
para quaisquer
. Como
é bijetora, existem
tais que
e
. Da semelhança original vem
Logo
mostrando que
é semelhança de razão
.
Resposta
A composição
é semelhança de razão
e a inversa
é semelhança de razão
.