Seja , onde , e . Encontre .
Se for duas vezes derivável e , encontre em termos de e .
Se , onde e , encontre $F^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado traz três partes envolvendo lógica de derivadas por composição e produto: (1) calcule r'(1) para r(x)=f(g(h(x))) com valores dados de h(1), g(2), h'(1), g'(2) e f'(3); (2) ache f''(x) para f(x)=x,g(x^2) supondo g duas vezes derivável; (3) determine F'(0) para F(x)=f(3f(4f(x))) com f(0)=0 e f'(0)=2. Vamos usar regra da cadeia e produto passo a passo.

Passo 2

Para r(x)=f(g(h(x))), a regra da cadeia diz:
r'(x) = f'l(g(h(x))r),g'l(h(x)r),h'(x)
Substituindo x=1 e usando h(1)=2, g(2)=3, h'(1)=4, g'(2)=5, f'(3)=6 obtemos
r'(1) = f'(3)cdot5cdot4 = 6cdot5cdot4 = 120

Passo 3

Para f(x)=x,g(x^2), aplicamos primeiro a regra do produto e depois a da cadeia:
f'(x) = g(x^2) + xcdotl[g'(x^2)cdot2xr] = g(x^2) + 2x^2,g'(x^2)
Derivando novamente:
f''(x) = ddxl[g(x^2)r] + ddxl[2x^2,g'(x^2)r]
Calculamos cada termo:
ddxl[g(x^2)r] = 2x,g'(x^2),
ddxl[2x^2,g'(x^2)r] = 4x,g'(x^2) + 2x^2cdotl[g''(x^2)cdot2xr] = 4x,g'(x^2) + 4x^3,g''(x^2)
Somando,
f''(x) = 2x,g'(x^2) + 4x,g'(x^2) + 4x^3,g''(x^2) = 6x,g'(x^2) + 4x^3,g''(x^2)

Passo 4

Para F(x)=f(3f(4f(x))), definimos composições internas e usamos cadeia repetida. Seja
u(x)=f(x), v(x)=4u(x), w(x)=f(v(x)), t(x)=3w(x), F(x)=f(t(x))
Então
u(0)=0, v(0)=0, w(0)=0, t(0)=0,
u'(0)=f'(0)=2, v'(0)=4u'(0)=8,
w'(0)=f'(v(0)),v'(0)=f'(0)cdot8=16,
t'(0)=3w'(0)=48,
F'(0)=f'(t(0)),t'(0)=f'(0)cdot48=2cdot48=96

Resposta

r'(1)=120
f''(x)=6x,g'(x^2)+4x^3,g''(x^2)
F'(0)=96

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