Seja
, onde
,
e
. Encontre
.
Se
for duas vezes derivável e
, encontre
em termos de
e .
Se
, onde
e
, encontre $F^{\prime}(0).
Se
Se
Passo 1
O enunciado traz três partes envolvendo lógica de derivadas por composição e produto: (1) calcule
para
com valores dados de
,
,
,
e
; (2) ache
para
supondo
duas vezes derivável; (3) determine
para
com
e
. Vamos usar regra da cadeia e produto passo a passo.
Passo 2
Para
, a regra da cadeia diz:
Substituindo
e usando
,
,
,
,
obtemos
Passo 3
Para
, aplicamos primeiro a regra do produto e depois a da cadeia:
Derivando novamente:
Calculamos cada termo:
Somando,
Passo 4
Para
, definimos composições internas e usamos cadeia repetida. Seja
Então