Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ>0, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de ϵ.
lim x 3 x^2=9 ; epsilon=0,005

Passo 1

O problema pede, para a função f(x)=x^2 e o ponto x0=3, que a gente escolha um de<a>0 de modo que
|x-3|<de<aLongrightarrow |x^2-9|<epsilon
com epsilon=0,005. Vamos usar a definição de limite e manipular a expressão |x^2-9| para achar uma condição em de<a.

Passo 2

Escrevemos
|x^2-9| = |x-3||x+3|
Esse fatoramento é chave, pois nos permite separar o termo que controlamos ( |x-3|) de outro ( |x+3|).

Passo 3

Para controlar |x+3|, impomos que de<a<=1. Assim, se |x-3|<de<a<=1, então
2 < x < 4 Longrightarrow 5 < x+3 < 7 implies |x+3|<=7

Passo 4

Com esse limite em |x+3|, temos
|x^2-9| = |x-3|,|x+3| <= 7,|x-3|
Queremos que isso seja menor que epsilon. Basta pedir
7,|x-3| < epsilon Longrightarrow |x-3| < epsilon7

Passo 5

Para satisfazer simultaneamente as duas condições ( |x-3|<1 e |x-3|<epsilon/7), escolhemos
de<a = min!l1,;epsilon7r
Substituindo epsilon=0,005, vem
de<a = min!l1,;0,0057r = 0,0057approx0,0007142857

Resposta

Um valor que funciona é
de<a = 0,0057approx0,000714

Exercícios relacionados