Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ>0, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de ϵ.
lim x -2 x^2=4 ; epsilon=0,003

Passo 1

O enunciado afirma que
limxto -2x^2 = 4
e nos dá epsilon = 0,003.
Queremos encontrar de<a>0 tal que
|x^2 - 4| < epsilon sempre que |x - (-2)| = |x+2| < de<a
Para isso, vamos usar manipulações algébricas e uma estimativa para controlar o produto que aparece em |x^2-4|.

Passo 2

Observe que
|x^2 - 4| = |x^2 - (-2)^2| = |x - (-2)|,|x + (-2)| = |x+2|,|x-2|
Então precisamos controlar o produto |x+2|cdot|x-2|.

Passo 3

Estimamos |x-2| em função de |x+2|. Repare que
|x-2| = |(x+2)-4| <= |x+2| + 4
pela desigualdade triangular.

Passo 4

Escolhemos provisoriamente de<a <= 1. Assim, se |x+2|<de<a<=1 então
|x-2| < 1 + 4 = 5
Logo, sempre que |x+2|<de<a<=1 teremos
|x^2 - 4| = |x+2|,|x-2| < |x+2|cdot 5 = 5,|x+2|

Passo 5

Para garantir |x^2-4|<epsilon, basta impor
5,|x+2| < epsilon Long<=ftrightarrow |x+2| < epsilon5
Portanto, basta escolher
de<a = min!l(1,;epsilon5r) = min!l(1,;0,0035r) = 0,0006

Resposta

Podemos tomar de<a = 0,0006. Assim, sempre que |x+2|<0,0006 teremos |x^2-4|<0,003, como desejado.

Exercícios relacionados