Verifique as seguintes desigualdades
ln n <= n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a desigualdade ln n <= n é verdadeira. Isso entra na área de funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como o logaritmo natural funciona e comparar ele com a função identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que ln n é o logaritmo natural de n, que é a potência à qual o número e (aproximadamente 2,718) precisa ser elevado para obter n. Por exemplo, ln e = 1, porque e^1 = e.

Passo 3

Agora, para verificar se ln n <= n, vamos analisar o comportamento das duas funções: f(n) = ln n e g(n) = n.
Sabemos que para n > 0, o logaritmo natural está definido. Vamos ver alguns valores para ter uma ideia:
  • Se n = 1: ln 1 = 0 e 1 = 1. Então, 0 <= 1 é verdadeiro.
  • Se n = e: ln e = 1 e e approx 2,718. Então, 1 <= 2,718 também é verdadeiro.
  • Se n = 10: ln 10 approx 2,303 e 10 = 10. Então, 2,303 <= 10 é verdadeiro.

Passo 4

Vamos agora pensar no comportamento das funções quando n cresce. A função ln n cresce, mas muito mais devagar que a função n. Isso significa que, conforme n aumenta, a diferença entre n e ln n também aumenta.
Matematicamente, podemos derivar a função h(n) = n - ln n para ver se ela é crescente:
h'(n) = 1 - 1n
Para n > 1, h'(n) = 1 - 1n > 0, o que indica que h(n) está aumentando. Portanto, a diferença entre n e ln n aumenta conforme n cresce, confirmando que ln n <= n para n > 0.

Resposta

Assim, concluímos que para todo n > 0, a desigualdade ln n <= n é verdadeira.

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