Verifique as seguintes desigualdades
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a desigualdade
é verdadeira. Isso entra na área de funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como o logaritmo natural funciona e comparar ele com a função identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o logaritmo natural de n, que é a potência à qual o número e (aproximadamente 2,718) precisa ser elevado para obter n. Por exemplo,
, porque
.
Passo 3
Agora, para verificar se
, vamos analisar o comportamento das duas funções:
e
.
Sabemos que para n > 0, o logaritmo natural está definido. Vamos ver alguns valores para ter uma ideia:
- Se n = 1:
e . Então, é verdadeiro. - Se n = e:
e . Então, também é verdadeiro. - Se n = 10:
e . Então, é verdadeiro.
Passo 4
Vamos agora pensar no comportamento das funções quando n cresce. A função
cresce, mas muito mais devagar que a função
. Isso significa que, conforme n aumenta, a diferença entre n e
também aumenta.
Matematicamente, podemos derivar a função
para ver se ela é crescente:
Para n > 1,
, o que indica que h(n) está aumentando. Portanto, a diferença entre n e
aumenta conforme n cresce, confirmando que
para n > 0.
Resposta
Assim, concluímos que para todo n > 0, a desigualdade
é verdadeira.