Seja r(x, y)=xi+yj+zk e r=|r|.
Calcule o Rotacional e o divergente de r

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional e o divergente do vetor . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde aprendemos sobre operadores diferenciais que nos ajudam a entender o comportamento dos campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional e o divergente usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de nabla times r = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x & y & z . O rotacional, denotado por nabla times r = i(partial zpartial y - partial ypartial z) - j(partial zpartial x - partial xpartial z) + k(partial ypartial x - partial xpartial y) , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
partial zpartial y = 0, partial ypartial z = 0, partial zpartial x = 0, partial xpartial z = 0, partial ypartial x = 0, partial xpartial y = 0
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
nabla times r = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = 0
Calculando cada termo:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot r = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z . O divergente, denotado por partial xpartial x = 1, partial ypartial y = 1, partial zpartial z = 1 , nos diz como o campo está “se expandindo” ou “contraindo” em cada ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot r = 1 + 1 + 1 = 3
Calculando cada derivada parcial:
Somando:

Resposta

O rotacional de é e o divergente de é .

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