Seja
um real dado. Mostre que
(Sugestão: Utilize o critério do limite
.)
Passo 1
O enunciado afirma que, para um real dado
, a série
é divergente, isto é, seu valor tende a
. O conteúdo é comparação de séries pelo critério do limite.
Passo 2
Definimos os termos
Ambos são positivos para
grande, e vamos comparar
com
.
Passo 3
Calculamos o limite da razão
. Como para
e
segue que
e
segue que
Como
, temos
.
Passo 4
Pelo critério da comparação pelo limite, se
com
, então
e
divergem ou convergem simultaneamente. Resta ver que
diverge.
Passo 5
Observamos que a soma parcial de
é telescópica:
Como
quando
, concluímos que
.
Resposta
Portanto,