Seja -1<alpha<0 um real dado. Mostre que
sumk=1^+infty ln kk-1-alpha=+infty
(Sugestão: Utilize o critério do limite com ck=ln k+1k.)

Passo 1

O enunciado afirma que, para um real dado -1<alpha<0, a série
sumk=1^inftylnkk-1-alpha
é divergente, isto é, seu valor tende a +infty. O conteúdo é comparação de séries pelo critério do limite.

Passo 2

Definimos os termos
ak = lnkk-1-alpha e ck = lnk+1k
Ambos são positivos para k grande, e vamos comparar sum ak com sum ck.

Passo 3

Calculamos o limite da razão ak/ck. Como para xtoinfty
lnxx-1-alpha =lnl(1+1+alphax-1-alphar) sim1+alphax
e
lnx+1x=lnl(1+1xr)sim1x,
segue que
limktoinftyakck =limktoinfty lnkk-1-alphalnk+1k =1+alpha
Como -1<alpha<0, temos 1+alpha>0.

Passo 4

Pelo critério da comparação pelo limite, se
limktoinftyak/ck=L com 0<L<infty, então sum ak e sum ck divergem ou convergem simultaneamente. Resta ver que sum ck diverge.

Passo 5

Observamos que a soma parcial de sum ck é telescópica:
sumk=1^nck =sumk=1^nlnk+1k =lnprodk=1^nk+1k =ln(n+1)
Como ln(n+1)to+infty quando ntoinfty, concluímos que sum ck=+infty.

Resposta

Portanto,
sumk=1^inftylnkk-1-alpha=+infty

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