Seja R a região delimitada pela curva y=raiz4-x e pelas retas 3 y=x e y=0.
Calcule a área de R.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada por três curvas em primeiro quadrante: a reta
3y = x,
o eixo
y=0
e a função
y = raiz4 - x
Para resolver precisamos identificar os vértices de R e escolher um método de integração adequado. Aqui usaremos fatias horizontais (integração em y).

Passo 2

Encontramos a interseção entre a reta x=3y e a curva y=raiz4-x. Substituindo x=3y em y=raiz4-x
y = raiz4 - 3y Longrightarrow y^2 = 4 - 3y Longrightarrow y^2 + 3y - 4 = 0
Resolvendo,
y = -3 pm raiz9+162 = -3 pm 52,
tomamos a raiz positiva y=1. Então o ponto de interseção é
l(x,yr) = l(3cdot1,,1r) = (3,1)

Passo 3

Para 0 <= y <= 1, a região é limitada à esquerda por x=3y e à direita por x = 4 - y^2 (obtido de y=raiz4-x). Assim a largura horizontal é
(4 - y^2) - (3y)
Logo a área é
A = integraly=0^1 l[(4 - y^2) - 3yr],dy

Passo 4

Calculamos a integral:
A = integral0^1 (4 - 3y - y^2),dy = l[4y - tfrac32y^2 - tfrac13y^3r]0^1 = 4 - tfrac32 - tfrac13 = 24 - 9 - 26 = 136

Resposta

A área da região R é 136.

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