Seja R a região delimitada pelas curvas y=raizx e y=x.
Calcule a área de R.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=raizx e y=x. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que vamos fazer montando uma integral definida da diferença entre a função “de cima” e a função “de baixo”.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos onde raizx=x.
Resolvendo
raizx=x
eleva-se ao quadrado:
x = x^2
logo
x^2 - x = 0 Rightarrow x(x-1)=0
portanto as interseções são x=0 e x=1.

Passo 3

Num ponto qualquer entre 0 e 1 (por exemplo x=0,25), vemos que raizx = 0,5 e x=0,25, logo raizx>= x nesse intervalo. Isso mostra que a curva y=raizx está acima de y=x para 0<= x<=1.

Passo 4

A área A é dada por
A = integral0^1l(raizx - xr),dx
Calculando:
integral0^1raizx,dx = integral0^1x^1/2,dx = l[tfrac23x^3/2r]0^1 = tfrac23,
integral0^1x,dx = l[tfrac12x^2r]0^1 = tfrac12
Assim,
A = tfrac23 - tfrac12 = tfrac46 - tfrac36 = tfrac16

Resposta

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