Seja R a região delimitada pela x=2 y e a parábola y^2=x.
Calcule a área da região R;

Passo 1

O enunciado nos dá a região R delimitada pela reta x=2y e pela parábola y^2=x. O conteúdo aqui é cálculo de área de uma região plana entre duas curvas. Para resolver, vamos:
  1. Determinar os pontos de interseção das curvas.
  2. Escolher a variável de integração (aqui y é mais conveniente).
  3. Montar a integral de área como
Área = integralymin^ymaxl(xdireita - xesquerdar),dy Á

Passo 2

Encontrar os pontos em que y^2=x e x=2y se cruzam, isto é, resolver
y^2 = 2y Longrightarrow y^2 - 2y = 0 Longrightarrow y(y-2)=0,
logo os pontos de interseção ocorrem em y=0 e em y=2.

Passo 3

Para y variando de 0 a 2, a curva que fica mais à direita é x=2y e a que fica mais à esquerda é x=y^2. Assim,
Área = integral0^2 l(2y - y^2r),dy Á

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^2 2y,dy = [y^2]0^2 = 4,
integral0^2 y^2,dy = [y^33]0^2 = 83
Subtraindo,
Área = 4 ;-;83 = 123-83 = 43 Á

Resposta

A área da região R é 43.

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