Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para determinar a derivada da função abaixo:
(0,75 pt) g(x)=integralraizx^x^3 raizt sen t d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=integralraizx^,x^3raizt,sin t,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1). Vamos aplicar a fórmula para derivar uma integral com limites dependentes de x e, em seguida, usar a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos
f(t)=raizt,sin t, a(x)=raizx, b(x)=x^3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) junto com a regra da cadeia,
g'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Calculamos o primeiro termo f(b(x)),b'(x):
fl(b(x)r)=raizx^3;sin(x^3)=x^3/2sin(x^3), b'(x)=3x^2,
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fl(b(x)r),b'(x) =3x^2cdot x^3/2sin(x^3) =3x^7/2sin(x^3)

Passo 4

Calculamos o segundo termo f(a(x)),a'(x):
fl(a(x)r)=raizraizx;sin(raizx) =x^1/4sin(raizx), a'(x)=12raizx=12x^1/2,
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fl(a(x)r),a'(x) =x^1/4sin(raizx)cdot12x^1/2 =12x^-1/4sin(raizx)
Mas na fórmula aparece com sinal negativo.

Resposta

g'(x)=3x^7/2sin(x^3);-;tfrac12,x^-1/4sin(raizx)

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