Seja
a região delimitada pela
e a parábola
e
o sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno do eixo
.
Calcule a área da região
;
Calcule a área da região
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região
delimitada pela reta
e pela parábola
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos permitem encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso nos ajudará a definir os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção determinados, vamos analisar qual das curvas está acima da outra no intervalo
. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para a reta
:
Para a parábola
:
Como
, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, podemos expressar a área da região
como a integral da diferença entre as funções que delimitam a região, de
a
:
Aqui,
(reta) e
(parábola).
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região
é igual a
unidades de área.