Seja R a região delimitada pela y=x e a parábola y^2=x e S1 o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Calcule a área da região R;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da região R delimitada pela reta y = x e pela parábola y^2 = x. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos permitem encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso nos ajudará a definir os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
y = x e y^2 = x
Substituindo x da primeira equação na segunda:
y^2 = y implies y^2 - y = 0 implies y(y - 1) = 0
Portanto, os pontos de interseção são y = 0 e y = 1.

Passo 3

Com os pontos de interseção determinados, vamos analisar qual das curvas está acima da outra no intervalo y in [0, 1]. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo, y = 0,5:
Para a reta y = x:
x = 0,5
Para a parábola y^2 = x:
x = (0,5)^2 = 0,25
Como 0,5 > 0,25, a reta y = x está acima da parábola y^2 = x nesse intervalo.

Passo 4

Agora, podemos expressar a área da região R como a integral da diferença entre as funções que delimitam a região, de y = 0 a y = 1:
Área = integral0^1 (xsuperior - xinferior) , dy = integral0^1 (y - y^2) , dy Á
Aqui, xsuperior = y (reta) e xinferior = y^2 (parábola).

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (y - y^2) , dy = integral0^1 y , dy - integral0^1 y^2 , dy
Calculando cada parte separadamente:
integral0^1 y , dy = [12y^2]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
integral0^1 y^2 , dy = [13y^3]0^1 = 13(1)^3 - 13(0)^3 = 13
Subtraindo os dois resultados:
12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

A área da região R é igual a dfrac16 unidades de área.

Exercícios relacionados