Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para determinar a derivada da função abaixo:
g(x)=integraltg x^x^2 1raiz2+t^4 d t.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral e precisamos encontrar a sua derivada utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a Parte 1. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar integrais cujos limites são funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, a derivada dessa função é igual à função integranda avaliada nos limites superior e inferior, multiplicada pelas derivadas desses limites. A fórmula geral é:
x

Passo 3

Aplicando isso à função dada:
g(x) = integraltg x^x^2 1raiz2 + t^4 , dt
Identificamos que:
  • Limite inferior: $ a(x) = \operatorname{tg} x $
  • Limite superior: $ b(x) = x^{2} $
  • Função integranda: $ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 + t^{4}}} $

Passo 4

Agora, aplicando o teorema:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
g'(x) = 1raiz2 + (x^2)^4 cdot ddx(x^2) - 1raiz2 + (tg x)^4 cdot ddx(tg x)

Passo 5

Vamos calcular as derivadas dos limites:
  • Derivada de $ b(x) = x^{2} $:
b(x) = x^2
  • Derivada de $ a(x) = \operatorname{tg} x $:
ddx(x^2) = 2x

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão de $ g’(x) $:
g'(x)
Simplificando, temos:
g'(x) = 1raiz2 + x^8 cdot 2x - 1raiz2 + (tgx)^4 cdot sec^2x

Resposta

A derivada da função $ g(x) $ é:
g(x)

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