Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para determinar a derivada da função abaixo:
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral e precisamos encontrar a sua derivada utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a Parte 1. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar integrais cujos limites são funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, a derivada dessa função é igual à função integranda avaliada nos limites superior e inferior, multiplicada pelas derivadas desses limites. A fórmula geral é:
Passo 3
Aplicando isso à função dada:
Identificamos que:
- Limite inferior: $ a(x) = \operatorname{tg} x $
- Limite superior: $ b(x) = x^{2} $
- Função integranda: $ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 + t^{4}}} $
Passo 4
Agora, aplicando o teorema:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas dos limites:
- Derivada de $ b(x) = x^{2} $:
- Derivada de $ a(x) = \operatorname{tg} x $:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão de $ g’(x) $:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada da função $ g(x) $ é: