Seja D região limitada por uma curva fechada e suave por partes C. Mostre que a área da região D é dada por A(D)=ointC F d r, para F=-y2 i+x2 j ou A(D)=12 ointC-y d x+x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a área de uma região , limitada por uma curva fechada e suave , pode ser calculada usando uma integral de linha específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas para calcular áreas. Vamos precisar definir um campo vetorial adequado e aplicar o teorema para chegar à expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Ele estabelece que para uma curva fechada ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região :
Aqui, e são funções do campo vetorial .

Passo 3

Queremos relacionar isso com a área A(D) = integral duplaD dA . Sabemos que a área pode ser expressa como:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1
Para que a integral dupla do Teorema de Green se iguale à área, precisamos que:

Passo 4

Vamos escolher um campo vetorial P = -y2 e Q = x2 que satisfaça essa condição. O enunciado sugere . Então, temos:

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x2 ) = 12
partial Ppartial y = partialpartial y ( -y2 ) = -12

Passo 6

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12 - ( -12 ) = 12 + 12 = 1
Perfeito! Isso confirma que a integral dupla será igual à área .

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema de Green com nosso campo A(D) = integral duplaD dA = ointC F cdot dr = ointC ( -y2 , dx + x2 , dy ) :
A(D) = 12 ointC (-y , dx + x , dy)
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

Portanto, a área da região A(D) = ointC F , dr para F = -y2 i + x2 j é dada por:
A(D) = 12 ointC (-y , dx + x , dy)
ou equivalente a:

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