Seja v.a. representando o número de usuários de um microcomputador no período de um mês. A distribuição de probabilidade de é dada abaixo:
2 3 4 5 6 Total
0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1.0
a. Calcular e .
b. Calcular e .
c. Encontre e , sendo .

Passo 1

O enunciado define a v.a. discreta X com suporte 2,3,4,5,6 e probabilidades P(2)=0,1, P(3)=0,3, P(4)=0,3, P(5)=0,2, P(6)=0,1. Precisamos calcular:
a) as probabilidades P(X<=3), P(X>4), P(3<X<=5);
b) a esperança ,E(X) e a variância Var(X);
c) para Y=tfrac X2-1, encontrar E(Y) e Var(Y).

Passo 2

Calcular as probabilidades pedidas somando as probabilidades apropriadas:
P(X<=3)=P(2)+P(3)=0,1+0,3=0,4,
P(X>4)=P(5)+P(6)=0,2+0,1=0,3,
P(3<X<=5)=P(4)+P(5)=0,3+0,2=0,5

Passo 3

Para E(X) e Var(X) usamos as fórmulas
E(X)=sumxx,P(x) e Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
Calculando
E(X)=2cdot0,1+3cdot0,3+4cdot0,3+5cdot0,2+6cdot0,1 =0,2+0,9+1,2+1,0+0,6=3,9,
E(X^2)=2^2cdot0,1+3^2cdot0,3+4^2cdot0,3+5^2cdot0,2+6^2cdot0,1 =0,4+2,7+4,8+5,0+3,6=16,5,
Var(X)=16,5-(3,9)^2=16,5-15,21=1,29

Passo 4

Para Y=tfrac X2-1, sendo uma transformação afim Y=aX+b com a=tfrac12, b=-1, vale
E(Y)=a,E(X)+b=tfrac12cdot3,9-1=1,95-1=0,95,
Var(Y)=a^2,Var(X) =l(tfrac12r)^2cdot1,29=0,3225

Resposta

a) P(X<=3)=0,4; P(X>4)=0,3; P(3<X<=5)=0,5.
b) E(X)=3,9; Var(X)=1,29.
c) E(Y)=0,95; Var(Y)=0,3225.

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