Seja A=[lll3 & 0 & 1 0 & 3 & 2 0 & 0 & 2]. Responda os itens a seguir.
(a) (1 ponto) Encontre as bases dos auto-espaços de A e identifique os autovetores de A, associados aos respectivos autovalores.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 3 & 0 & 1 0 & 3 & 2 0 & 0 & 2
e pede as bases dos autoespaços de A, ou seja, para cada autovalor lambda encontrar a solução não trivial de (A - lambda I)x = 0. Vamos usar o fato de que A é triangular superior, então os autovalores são as entradas da diagonal.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são
lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = 2
Portanto há um autovalor lambda=3 de multiplicidade algébrica 2 e um autovalor lambda=2 de multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para resolvemos
As equações dão e deixam livres. Logo o autoespaço de é

Passo 4

Para resolvemos
Dessas equações vem
daí . Tomando como parâmetro, um gerador é . Assim

Resposta

Autovalores e bases dos autoespaços:
(a) Para lambda=3: base (1,0,0),,(0,1,0).
Para lambda=2: base (-1,-2,1).

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