Sejam v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1) e w=(-3,-11,11). Responda os itens a seguir.
(a) (0,5 ponto) v1, v2, v3 e v4 são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1)
e pede para dizer se são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo aqui é o conceito de independência linear: um conjunto é dependente se existe combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Passo 2

Pela definição, se acharmos escalares c1,c2,c3,c4, nem todos zero, tais que
c1v1+c2v2+c3v3+c4v4=0,
então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Note que
v3 = 3,v1,
isto é,
-3,v1 + 1,v3 + 0,v2 + 0,v4 = 0
Aqui temos uma combinação não trivial (coeficientes -3 e 1 não são todos nulos) que gera o vetor zero.

Passo 4

Como exibimos uma combinação linear não trivial que anula os vetores, concluímos que eles são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente dependentes, pois v3=3,v1.

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