Sejam v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1) e w=(-3,-11,11). Responda os itens a seguir.
(c) (0,5 ponto) Encontre uma base para >=rv1, v2, v3, v4.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,2,-2),
v2=(2,-1,1),
v3=(3,6,-6) e
v4=(3,1,-1)
e pede uma base para >=rv1,v2,v3,v4. O conteúdo é reconhecer dependências lineares entre esses vetores para extrair um subconjunto que seja linearmente independente e gere o mesmo espaço.

Passo 2

Observe que
v3=(3,6,-6)=3,(1,2,-2)=3,v1,
logo v3 é dependente de v1 e pode ser descartado na busca da base.

Passo 3

Vamos ver se
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem (identidade) e na primeira , de onde e . Portanto
e também é dependente de .

Passo 4

Sobram apenas v1 e v2, que são claramente independentes. Logo esses dois vetores geram todo o espaço definido pelos quatro vetores originais.

Resposta

Uma base para >=rv1,v2,v3,v4 é
,v1,,v2=(1,2,-2),,(2,-1,1)

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