Seja
dentro da casca esférica
e 0 fora. Determine:
O campo
em
. (2,5pto)
O campo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica onde a densidade de carga elétrica,
, varia com o raio
e é igual a
mC/m³ dentro da região onde
. Fora dessa região, a densidade de carga é zero. Precisamos determinar o campo de deslocamento elétrico
no ponto onde
.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico, que relaciona a carga total dentro de uma superfície fechada com o fluxo do campo
através dessa superfície. Vamos precisar calcular a carga total dentro de uma esfera com raio de 5 metros e, em seguida, aplicar a simetria esférica para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total
dentro da esfera de raio
. Como a densidade de carga é zero fora de
, a única contribuição para a carga total vem da região entre
e
.
A carga total é dada pela integral da densidade de carga sobre o volume dessa região:
Passo 3
Sabemos que em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é:
Substituindo
na integral, temos:
Passo 4
Resolvendo a integral:
Então, a carga total
dentro da esfera é
mC.
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para o campo
. Para uma esfera de raio
, com simetria esférica, o campo
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície.
A Lei de Gauss para
é:
Como
é constante na superfície gaussiana, podemos simplificar:
Resolvendo para
:
Substituindo
e
:
Resposta
O campo de deslocamento elétrico em
é
na direção radial.