Seja rhov=6 r^-1 mC / m^3 dentro da casca esférica 1 m e 0 fora. Determine:
O campo barD em r=5 m. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica onde a densidade de carga elétrica, rhov, varia com o raio r e é igual a 6 r^-1 mC/m³ dentro da região onde 1 m < r < 4 m. Fora dessa região, a densidade de carga é zero. Precisamos determinar o campo de deslocamento elétrico barD no ponto onde r = 5 m.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico, que relaciona a carga total dentro de uma superfície fechada com o fluxo do campo barD através dessa superfície. Vamos precisar calcular a carga total dentro de uma esfera com raio de 5 metros e, em seguida, aplicar a simetria esférica para encontrar barD.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q dentro da esfera de raio 5 m. Como a densidade de carga é zero fora de 4 m, a única contribuição para a carga total vem da região entre 1 m e 4 m.
A carga total é dada pela integral da densidade de carga sobre o volume dessa região:
Q = integral1^4 rhov cdot dV

Passo 3

Sabemos que em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV é:
dV = 4pi r^2 dr
Substituindo rhov = 6 r^-1 mC/m^3 na integral, temos:
Q = integral1^4 6 r^-1 cdot 4pi r^2 dr = 24pi integral1^4 r , dr

Passo 4

Resolvendo a integral:
24pi integral1^4 r , dr = 24pi [ r^22 ]1^4 = 24pi ( 162 - 12 ) = 24pi ( 152 ) = 180pi mC
Então, a carga total Q dentro da esfera é 180pi mC.

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para o campo barD. Para uma esfera de raio r = 5 m, com simetria esférica, o campo barD é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície.
A Lei de Gauss para barD é:
oint barD cdot dbarA = Q
Como barD é constante na superfície gaussiana, podemos simplificar:
D cdot 4pi r^2 = Q
Resolvendo para D:
D = Q4pi r^2
Substituindo Q = 180pi mC e r = 5 m:
D = 180pi4pi (5)^2 = 180100 = 1.8 mC/m^2

Resposta

O campo de deslocamento elétrico em r = 5 m é barD = 1.8 , mC/m^2 na direção radial.

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