Seja
a fronteira do solido interior a superficie
e delimitado pelo plano
e
. Seja
Verificar o Teorema de Gauss.
Passo 1
Temos o sólido V definido por x²+y²≤1 e 0≤z≤2, cuja fronteira S é a superfície lateral cilíndrica x²+y²=1 entre z=0 e z=2 mais as tampas em z=0 e z=2. A matéria aqui é o Teorema de Gauss (Divergência), e para verificar precisamos calcular a divergência de
, montar a integral tripla em V e comparar com o fluxo de
através de S, calculado separadamente em cada parte da superfície.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Gauss, começamos calculando a divergência de
. Pela definição temos
[\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z.\n]
[\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z.\n]
Passo 3
Agora usamos essa divergência em uma integral tripla sobre V. Como V é o cilindro x²+y²≤1, 0≤z≤2, escrevemos
[\iiint_V (2x+2y+2z),dV.\n]
Pelas simetrias do disco nas variáveis x e y, as integrais de 2x e 2y são zero. Portanto sobra
[\n\iiint_V 2z,dV = 2 \int_0^2 \Bigl(\iint_{x2+y2\le1} dA\Bigr) z,dz = 2\pi \int_0^2 z,dz = 2\pi \Bigl[\frac{z2}{2}\Bigr]_02 = 4\pi.\n]
[\iiint_V (2x+2y+2z),dV.\n]
Pelas simetrias do disco nas variáveis x e y, as integrais de 2x e 2y são zero. Portanto sobra
[\n\iiint_V 2z,dV = 2 \int_0^2 \Bigl(\iint_{x2+y2\le1} dA\Bigr) z,dz = 2\pi \int_0^2 z,dz = 2\pi \Bigl[\frac{z2}{2}\Bigr]_02 = 4\pi.\n]
Passo 4
Para calcular o fluxo direto, decompomos S em três partes: a superfície lateral S_lateral (cilindro r=1) e as tampas superior S_topo (z=2) e inferior S_base (z=0). Em cada parte determinamos o vetor área adequado e avaliamos
.
Passo 5
Superfície lateral: usamos a parametrização cilíndrica x=cosθ, y=sinθ, z=z, com 0≤θ≤2π, 0≤z≤2. O vetor área é
[d\vec S = (\cos\theta,\sin\theta,0),d\theta,dz.\n]
Logo
[\vec F\cdot d\vec S = (\cos2\theta,\sin2\theta,z^2)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0),d\theta,dz = (\cos3\theta+\sin3\theta),d\theta,dz.\n]
Integrando em θ de 0 a 2π e em z de 0 a 2, usa-se a periodicidade de cos³θ e sin³θ para concluir que esse fluxo é zero.
[d\vec S = (\cos\theta,\sin\theta,0),d\theta,dz.\n]
Logo
[\vec F\cdot d\vec S = (\cos2\theta,\sin2\theta,z^2)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0),d\theta,dz = (\cos3\theta+\sin3\theta),d\theta,dz.\n]
Integrando em θ de 0 a 2π e em z de 0 a 2, usa-se a periodicidade de cos³θ e sin³θ para concluir que esse fluxo é zero.
Passo 6
Tampas: para z=2, o normal é (0,0,1) e
, então
[\Phi_{topo} = \iint_{x2+y2\le1} z^2,dA = 4\iint_{x2+y2\le1} dA = 4\pi.\n]
Para z=0, o normal é (0,0,-1) mas z²=0, então
[\Phi_{base} = 0.\n]
Somando as partes: fluxo total = 0 + 4π + 0 = 4π.
[\Phi_{topo} = \iint_{x2+y2\le1} z^2,dA = 4\iint_{x2+y2\le1} dA = 4\pi.\n]
Para z=0, o normal é (0,0,-1) mas z²=0, então
[\Phi_{base} = 0.\n]
Somando as partes: fluxo total = 0 + 4π + 0 = 4π.
Resposta
O fluxo de
através de S e a integral tripla de
sobre V são ambos iguais a
, portanto o Teorema de Gauss está verificado.