O teorema do divergente afirma que se é uma região sólida do espaço cuja fronteira é uma superfície suave por partes e se é um campo vetorial suave definido em uma região aberta do espaço que contém e então
onde a integral de superfície em S segue a orientação definida pela normal exterior.
Calcule o fluxo de F através de S de duas maneiras diferentes, diretamente e depois usando o teorema do divergente. Considere F=(z^2+x) i+(x^2+y) j+(y^2+z) k e S a superfície do cilindro fechado x^2+z^2=1 com 0 <= y <= 1 e orientação da normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=(z^2+x),vec i+(x^2+y),vec j+(y^2+z),vec k através da superfície fechada S do cilindro x^2+z^2=1, 0<= y<=1. O conteúdo é fluxo de campo e o teorema do divergente, e precisamos calcular o fluxo diretamente (lateral, topo e fundo) e também pelo teorema do divergente.
Passo 2
Pelo teorema do divergente, primeiro calculamos divvec F=partialpartial x(z^2+x)+partialpartial y(x^2+y)+partialpartial z(y^2+z)=1+1+1=3. Então
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaWdivvec F,dV=3cdotVol(W)=3cdot(picdot1^2cdot1)=3pi
Passo 3
Para o cálculo direto, separamos as partes:
– Superfície lateral: parametrizamos por x=costheta, z=sintheta, y=y. A normal externa vale dvec S=(costheta,0,sintheta),dy,dtheta. Em cada ponto