O teorema do divergente afirma que se W é uma região sólida do espaço cuja fronteira S é uma superfície suave por partes e se F é um campo vetorial suave definido em uma região aberta do espaço R^3 que contém W e S então
integral duplaS F cdot d s=integral triplaW div(F) d V
onde a integral de superfície em S segue a orientação definida pela normal exterior.
Calcule o fluxo de F através de S de duas maneiras diferentes, diretamente e depois usando o teorema do divergente. Considere F=(z^2+x) i+(x^2+y) j+(y^2+z) k e S a superfície do cilindro fechado x^2+z^2=1 com 0 <= y <= 1 e orientação da normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=(z^2+x),vec i+(x^2+y),vec j+(y^2+z),vec k através da superfície fechada S do cilindro x^2+z^2=1, 0<= y<=1. O conteúdo é fluxo de campo e o teorema do divergente, e precisamos calcular o fluxo diretamente (lateral, topo e fundo) e também pelo teorema do divergente.

Passo 2

Pelo teorema do divergente, primeiro calculamos divvec F=partialpartial x(z^2+x)+partialpartial y(x^2+y)+partialpartial z(y^2+z)=1+1+1=3. Então
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaWdivvec F,dV=3cdotVol(W)=3cdot(picdot1^2cdot1)=3pi

Passo 3

Para o cálculo direto, separamos as partes:
– Superfície lateral: parametrizamos por x=costheta, z=sintheta, y=y. A normal externa vale dvec S=(costheta,0,sintheta),dy,dtheta. Em cada ponto
vec Fcdot dvec S=(sin^2theta+costheta)costheta+(y^2+sintheta)sintheta+0=1+sin^2thetacostheta+y^2sintheta
Integrando thetain[0,2pi], yin[0,1], os termos com seno somam zero, sobra
Philat=integral0^1integral0^2pi1,dtheta,dy=2pi

Passo 4

– Topo ( y=1): normal +vec j, vec Fcdotvec j=x^2+1. No disco x^2+z^2<=1 em coordenadas polares:
Phitop=integral0^2piintegral0^1(r^2cos^2theta+1),r,dr,dtheta=pi/4+pi=5pi/4
– Fundo ( y=0): normal -vec j, vec Fcdot(-vec j)=-x^2. Analogamente:
Phifundo=-integral0^2piintegral0^1r^3cos^2theta,dr,dtheta=-pi/4

Passo 5

Somando todas as partes: 2pi+5pi/4-pi/4=3pi, que confere com o valor pelo teorema do divergente.

Resposta

Fluxo total = 3\pi

Exercícios relacionados