Seja S a mesma superfície do exercicio 12), e seja phi um campo escalar. Demonstrar que
integral duplaS phi(x, y, z) d y wed>= d z=-integral duplaT phi(x, y, f(x, y)) partial fpartial x d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a superfície S dada pelo gráfico
z = f(x,y), (x,y)in T,
e um campo escalar phi, vale
integral duplaSphi(x,y,z),dywed>= dz =-integral duplaTphil(x,y,f(x,y)r)partial fpartial x,dx,dy
Para isso vamos parametrizar S e usar o pullback de formas diferenciais.

Passo 2

Definimos a parametrização
r(x,y) = l(x,y,f(x,y)r), (x,y)in T
Então, se omega é uma 2-forma em R^3,
integral duplaSphi,omega =integral duplaT(phicirc r), r^*(omega)

Passo 3

Calculamos a pullback de dy e de dz. Primeiro,
r^*(dy)=d(y)=dy
Em seguida,
r^*(dz)=dl(f(x,y)r) =partial fpartial x,dx +partial fpartial y,dy

Passo 4

Agora
r^*l(dywed>= dzr) = r^*(dy)wed>= r^*(dz) =dywed>=l(tfracpartial fpartial x,dx +tfracpartial fpartial y,dyr) =tfracpartial fpartial x,dywed>= dx =-tfracpartial fpartial x,dxwed>= dy

Passo 5

Substituindo na integral sobre S,
integral duplaSphi,dywed>= dz =integral duplaTphil(x,y,f(x,y)r), l(-tfracpartial fpartial x,dxwed>= dyr) =-integral duplaTphil(x,y,f(x,y)r), tfracpartial fpartial x,dx,dy

Resposta

integral duplaSphi(x,y,z),dywed>= dz =-integral duplaTphi(x,y,f(x,y))partial fpartial x,dx,dy

Exercícios relacionados