Seja S um subespaço de V. Mostre que existe \tau \in L(V) tal que \operatorname{ker}(\tau)=S. Mostre também que existe \sigma \in L(V) tal que \operatorname{im}(\sigma)=S.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V sobre um corpo (campo) qualquer e um subespaço S \subseteq V. Pede duas coisas:
  • Mostrar que existe \tau \in L(V) (uma transformação linear V\to V) tal que \operatorname{ker}(\tau)=S.
  • Mostrar que existe \sigma \in L(V) tal que \operatorname{im}(\sigma)=S.
Informações relevantes fornecidas:
  • S é subespaço de V.
  • Não há restrição sobre a dimensão de V (pode ser finita ou infinita).
    A partir daqui vou construir explicitamente as transformações pedidas e provar que satisfazem as propriedades.

Passo 2

Vamos obter uma decomposição direta de V em função de S. Ideia: escolher uma base de S e estendê‑la a uma base de V. Explico passo a passo porque isso é possível e o que significa.
  • Uma base de S é um conjunto linearmente independente que gera S. Denote‑a por B_S.
  • Teorema (extensão de base): qualquer base de um subespaço pode ser estendida a uma base do espaço todo. Ou seja, existe um conjunto B_T tal que B_S\cup B_T é base de V.
  • Defina T=\operatorname{span}(B_T). Então, por construção, cada vetor v\in V escreve‑se de maneira única como soma
v=s+t
com s\in S e t\in T. Isso significa que
V = S \oplus T,
ou seja, S\cap T=\{0\} e S+T=V.
Observação intuitiva: escolhemos T como “complemento” de S em V. A existência de T é garantida pelo processo de estender a base; em cursos isso usa uma forma do axioma da escolha para o caso infinito, mas em prática de exercícios de álgebra linear finita isso é padrão.

Passo 3

Construção de \tau com \operatorname{ker}(\tau)=S.
  • Usando a decomposição V=S\oplus T, todo v\in V tem decomposição única v=s+t com s\in S e t\in T.
  • Defina a aplicação \tau:V\to V por
\text{para todo }v=s+t,\qquad \tau(v)=\tau(s+t)=t.
Esta é a projeção de V sobre T com núcleo S.
Agora verifico propriedade por propriedade.
Linearidade de \tau:
  • Se v_1=s_1+t_1 e v_2=s_2+t_2 então v_1+v_2=(s_1+s_2)+(t_1+t_2) e
\tau(v_1+v_2)=t_1+t_2=\tau(v_1)+\tau(v_2).
  • Para \alpha\in campo e v=s+t,
\tau(\alpha v)=\tau(\alpha s+\alpha t)=\alpha t=\alpha \tau(v).
Portanto \tau é linear.
Cálculo do núcleo:
  • Se v=s+t então \tau(v)=0 se, e somente se, t=0. Pela unicidade da decomposição isso é equivalente a v=s\in S.
    Logo \operatorname{ker}(\tau)=S.
Conclusão: a projeção sobre T tem exatamente S como núcleo. Assim existe \tau\in L(V) com \operatorname{ker}(\tau)=S.

Passo 4

Construção de \sigma com \operatorname{im}(\sigma)=S.
  • Usando a mesma decomposição V=S\oplus T, defina a aplicação \sigma:V\to V por
\text{para todo }v=s+t,\qquad \sigma(v)=\sigma(s+t)=s.
Esta é a projeção de V sobre S com respectivo núcleo T.
Verificações:
Linearidade de \sigma:
  • Se v_1=s_1+t_1 e v_2=s_2+t_2 então
\sigma(v_1+v_2)=\sigma((s_1+s_2)+(t_1+t_2))=s_1+s_2=\sigma(v_1)+\sigma(v_2),
e para escalares \alpha tem-se \sigma(\alpha v)=\alpha \sigma(v). Logo \sigma é linear.
Imagem de \sigma:
  • Por definição, para todo s\in S tem‑se \sigma(s)=s. Assim S\subseteq\operatorname{im}(\sigma).
  • Se y\in\operatorname{im}(\sigma) então existe v=s+t com \sigma(v)=s=y, logo y\in S. Assim \operatorname{im}(\sigma)\subseteq S.
    Portanto \operatorname{im}(\sigma)=S.
Além disso, \operatorname{ker}(\sigma)=T, mas isso é um detalhe adicional útil.

Passo 5

Exemplos e observações práticas (para a prova, passo a passo):
  • Exemplo simples finito: Se V=\mathbb{R}^3 e S=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\} então escolha T=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}. A projeção \tau(x,y,z)=(0,0,z) tem núcleo S. A projeção \sigma(x,y,z)=(x,y,0) tem imagem S.
  • Casos extremos: se S=\{0\} então a escolha T=V \tau=\operatorname{id}_V com \operatorname{ker}(\tau)=\{0\}. Se S=V escolha T=\{0\} e então \tau=0 tem \operatorname{ker}(\tau)=V e \sigma=\operatorname{id}_V tem \operatorname{im}(\sigma)=V.
  • Observação teórica: a existência do complemento T usa a extensão de base; em cursos isso é padrão e válida tanto em dimensão finita quanto infinita (com o uso do axioma da escolha). Para provas em turmas de álgebra linear finita, basta dizer "estenda a base de S a uma base de V".

Resposta

Escolha uma base B_S de S e estenda‑a a uma base de V; seja T o subespaço gerado pelos vetores extras, então V=S\oplus T. Defina
\text{para }v=s+t\\ (s\in S,\\ t\in T):\qquad \tau(v)=t,\qquad \sigma(v)=s.
Então \tau,\sigma\in L(V), \operatorname{ker}(\tau)=S e \operatorname{im}(\sigma)=S.

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