Seja
um subespaço de
. Mostre que existe
tal que
. Mostre também que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
sobre um corpo (campo) qualquer e um subespaço
. Pede duas coisas:
- Mostrar que existe
(uma transformação linear ) tal que . - Mostrar que existe
tal que .
Informações relevantes fornecidas:
-
é subespaço de . - Não há restrição sobre a dimensão de
(pode ser finita ou infinita).
A partir daqui vou construir explicitamente as transformações pedidas e provar que satisfazem as propriedades.
Passo 2
Vamos obter uma decomposição direta de
em função de
. Ideia: escolher uma base de
e estendê‑la a uma base de
. Explico passo a passo porque isso é possível e o que significa.
- Uma base de
é um conjunto linearmente independente que gera . Denote‑a por . - Teorema (extensão de base): qualquer base de um subespaço pode ser estendida a uma base do espaço todo. Ou seja, existe um conjunto
tal que é base de . - Defina
. Então, por construção, cada vetor escreve‑se de maneira única como soma
com
e
. Isso significa que
ou seja,
e
.
Observação intuitiva: escolhemos
como “complemento” de
em
. A existência de
é garantida pelo processo de estender a base; em cursos isso usa uma forma do axioma da escolha para o caso infinito, mas em prática de exercícios de álgebra linear finita isso é padrão.
Passo 3
Construção de
com
.
- Usando a decomposição
, todo tem decomposição única com e . - Defina a aplicação
por
Esta é a projeção de
sobre
com núcleo
.
Agora verifico propriedade por propriedade.
Linearidade de
:
- Se
e então e
- Para
campo e ,
Portanto
é linear.
Cálculo do núcleo:
- Se
então se, e somente se, . Pela unicidade da decomposição isso é equivalente a .
Logo.
Conclusão: a projeção sobre
tem exatamente
como núcleo. Assim existe
com
.
Passo 4
Construção de
com
.
- Usando a mesma decomposição
, defina a aplicação por
Esta é a projeção de
sobre
com respectivo núcleo
.
Verificações:
Linearidade de
:
- Se
e então
e para escalares
tem-se
. Logo
é linear.
Imagem de
:
- Por definição, para todo
tem‑se . Assim . - Se
então existe com , logo . Assim .
Portanto.
Além disso,
, mas isso é um detalhe adicional útil.
Passo 5
Exemplos e observações práticas (para a prova, passo a passo):
- Exemplo simples finito: Se
e então escolha . A projeção tem núcleo . A projeção tem imagem . - Casos extremos: se
então a escolha dá com . Se escolha e então tem e tem . - Observação teórica: a existência do complemento
usa a extensão de base; em cursos isso é padrão e válida tanto em dimensão finita quanto infinita (com o uso do axioma da escolha). Para provas em turmas de álgebra linear finita, basta dizer "estenda a base de a uma base de ".
Resposta
Escolha uma base
de
e estenda‑a a uma base de
; seja
o subespaço gerado pelos vetores extras, então
. Defina
Então
,
e
.