Seja
. Prove que
. Assim, a soma direta interna e a soma direta externa são isomorfas.
Passo 1
O enunciado dá que
. Vou listar claramente o que isso significa e o que se pede.
- Informações dadas:
-
e são subespaços de um espaço vetorial . -
significa duas coisas simultaneamente: -
, ou seja, todo pode ser escrito como soma com e . -
, ou seja, essa escrita é única (não há outra decomposição não-trivial).
-
-
- O que o enunciado pede:
- Mostrar que a soma direta interna
(aquela subespaços somados dentro de ) é isomorfa à soma direta externa (definida como o produto cartesiano com operações componente a componente). - Em termos práticos: construir um isomorfismo linear bijetivo entre
e (ou entre e , que coincide com por hipótese).
- Mostrar que a soma direta interna
Passo 2
Definição da soma direta externa e construção do candidato a isomorfismo.
- Definição da soma direta externa:
é o conjunto produto com adição e multiplicação escalar definidas por componentes: para , , escalar. Assim é um espaço vetorial. - Construção do mapa natural
(o candidato a isomorfismo): Aqui é a soma em . Primeiro verifique que está bem definida: para qualquer tem-se e , logo .
Passo 3
Provar que
é linear.
- Tomemos dois vetores quaisquer
e um escalar . - Soma:
Como a soma em é associativa e comutativa, isso é Portanto . - Multiplicação por escalar:
- Conclusão:
preserva soma e multiplicação por escalar, logo é linear.
Passo 4
Provar que
é injetora.
- Queremos mostrar que
. - Se
então no espaço . - Da igualdade
vem . Como e , temos e , portanto . - Pela hipótese
, segue . Então de obtemos também. - Assim
e . Uma aplicação linear com núcleo trivial é injetora. Logo é injetora.
(Observação didática curta: na prática, a unicidade da decomposição
é a razão pela qual
é injetora — se duas pares diferentes
e
tivessem a mesma imagem, subtrair daria um elemento não-nulo em
.)
Passo 5
Provar que
é sobrejetora.
- Pela hipótese
, todo pode ser escrito como com e . - Para esse par
temos . - Portanto cada
tem pelo menos um antecedente por ; assim é sobrejetora.
(Observação: a unicidade já provada em
Passo 6
Conclusão:
é um isomorfismo linear bijetivo.
- Juntando
Passo 7
- Como
por hipótese, concluímos que (a soma direta interna) é isomorfa a (a soma direta externa), com isomorfismo explícito . - Também se quiser o inverso explícito: para
escrever (única decomposição) e definir Esse é linear (verificação análoga) e é a inversa de .