Seja V=S \oplus T. Prove que S \oplus T \cong S \boxplus T. Assim, a soma direta interna e a soma direta externa são isomorfas.

Passo 1

O enunciado dá que V=S\oplus T. Vou listar claramente o que isso significa e o que se pede.
  • Informações dadas:
    • S e T são subespaços de um espaço vetorial V.
    • V=S\oplus T significa duas coisas simultaneamente:
      1. S+T=V, ou seja, todo v\in V pode ser escrito como soma v=s+t com s\in S e t\in T.
      2. S\cap T=\{0\}, ou seja, essa escrita é única (não há outra decomposição não-trivial).
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que a soma direta interna S\oplus T (aquela subespaços somados dentro de V) é isomorfa à soma direta externa S\boxplus T (definida como o produto cartesiano com operações componente a componente).
    • Em termos práticos: construir um isomorfismo linear bijetivo entre S\boxplus T e V (ou entre S\boxplus T e S\oplus T, que coincide com V por hipótese).

Passo 2

Definição da soma direta externa e construção do candidato a isomorfismo.
  • Definição da soma direta externa: S\boxplus T é o conjunto produto S\times T com adição e multiplicação escalar definidas por componentes: (s_1,t_1)+(s_2,t_2)=(s_1+s_2,\;t_1+t_2), \qquad \lambda\cdot(s,t)=(\lambda s,\;\lambda t),para s,s_1,s_2\in S, t,t_1,t_2\in T, \lambda escalar. Assim S\boxplus T é um espaço vetorial.
  • Construção do mapa natural \varphi (o candidato a isomorfismo): \varphi : S\boxplus T \longrightarrow V,\qquad \varphi(s,t)=s+t.Aqui s+t é a soma em V. Primeiro verifique que \varphi está bem definida: para qualquer (s,t)\in S\times T tem-se s\in S\subseteq V e t\in T\subseteq V, logo s+t\in V.

Passo 3

Provar que \varphi é linear.
  • Tomemos dois vetores quaisquer (s_1,t_1),(s_2,t_2)\in S\boxplus T e um escalar \lambda.
  • Soma: \varphi\big((s_1,t_1)+(s_2,t_2)\big) =\varphi(s_1+s_2,\;t_1+t_2) =(s_1+s_2)+(t_1+t_2).Como a soma em V é associativa e comutativa, isso é (s_1+t_1)+(s_2+t_2)=\varphi(s_1,t_1)+\varphi(s_2,t_2).Portanto \varphi((s_1,t_1)+(s_2,t_2))=\varphi(s_1,t_1)+\varphi(s_2,t_2).
  • Multiplicação por escalar: \varphi\big(\lambda\cdot(s,t)\big)=\varphi(\lambda s,\lambda t)=(\lambda s)+(\lambda t)=\lambda(s+t)=\lambda\varphi(s,t).
  • Conclusão: \varphi preserva soma e multiplicação por escalar, logo \varphi é linear.

Passo 4

Provar que \varphi é injetora.
  • Queremos mostrar que \ker\varphi=\{(0,0)\}.
  • Se \varphi(s,t)=0 então s+t=0 no espaço V.
  • Da igualdade s+t=0 vem s=-t. Como s\in S e t\in T, temos s\in S e -t\in T, portanto s\in S\cap T.
  • Pela hipótese S\cap T=\{0\}, segue s=0. Então de s+t=0 obtemos t=0 também.
  • Assim (s,t)=(0,0) e \ker\varphi=\{(0,0)\}. Uma aplicação linear com núcleo trivial é injetora. Logo \varphi é injetora.
(Observação didática curta: na prática, a unicidade da decomposição v=s+t é a razão pela qual \varphi é injetora — se duas pares diferentes (s,t) e (s',t') tivessem a mesma imagem, subtrair daria um elemento não-nulo em S\cap T.)

Passo 5

Provar que \varphi é sobrejetora.
  • Pela hipótese V=S+T, todo v\in V pode ser escrito como v=s+t com s\in S e t\in T.
  • Para esse par (s,t)\in S\boxplus T temos \varphi(s,t)=s+t=v.
  • Portanto cada v\in V tem pelo menos um antecedente por \varphi; assim \varphi é sobrejetora.
(Observação: a unicidade já provada em

Passo 6

Conclusão: \varphi é um isomorfismo linear bijetivo.
  • Juntando

Passo 7

  • Como V=S\oplus T por hipótese, concluímos que S\oplus T (a soma direta interna) é isomorfa a S\boxplus T (a soma direta externa), com isomorfismo explícito \varphi(s,t)=s+t.
  • Também se quiser o inverso explícito: para v\in V escrever v=s+t (única decomposição) e definir \varphi^{-1}(v)=(s,t).Esse \varphi^{-1} é linear (verificação análoga) e é a inversa de \varphi.

Resposta

S\oplus T \cong S\boxplus T via \varphi:S\boxplus T\to S\oplus T,\\ \varphi(s,t)=s+t.

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