Seja T \subseteq L(V) um subespaço. Um subespaço S de V é dito T-invariante se S é invariante para todo \tau \in T. Dizemos que T é T-irredutível se os únicos subespaços T-invariantes de V são \{0\} e V. Prove a seguinte forma do Lema de Schur.
Suponha que T_{V} \subseteq L(V) e T_{W} \subseteq L(W), que V é T_{V}-irredutível e que W é T_{W} irredutível. Seja \alpha \in L(V, W) tal que \alpha \tau=\tau \alpha para todo \tau \in T_{V}. Então \alpha=0 ou \alpha é um isomorfismo.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: T_{V}\subseteq L(V) e T_{W}\subseteq L(W).
  • Dado: V é T_{V}-irredutível: os únicos subespaços de V que são invariantes para todo operador de T_{V} são \{0\} e V.
  • Dado: W é T_{W}-irredutível: os únicos subespaços de W que são invariantes para todo operador de T_{W} são \{0\} e W.
  • Dado: \alpha\in L(V,W) tal que \alpha\tau=\tau\alpha para todo \tau\in T_{V}.
Observação importante sobre notação (para que tudo faça sentido tipológico): ao escrever \alpha\tau=\tau\alpha entendemos que, para cada operador \tau que atua em V (i.e. \tau\in T_V), há o operador correspondente que atua em W (com o mesmo símbolo \tau, visto como elemento de T_W), e a igualdade é entre as composições de \alpha com esses operadores: isto é,
\alpha\circ\tau_V = \tau_W\circ\alpha,
para cada \tau (onde \tau_V atua em V e \tau_W atua em W). Essa é a hipótese padrão de que \alpha “comuta” com as ações de T.
  • Objetivo: provar que ou \alpha=0 ou \alpha é um isomorfismo (isto é, uma bijeção linear V\to W).

Passo 2

Definições que vou usar e porque são úteis (aulas rápidas e concretas).
  • Núcleo de \alpha: \ker\alpha=\{v\in V:\alpha(v)=0\}. É um subespaço de V.
    • Propriedade útil: se \ker\alpha=\{0\} então \alpha é injetora.
  • Imagem de \alpha: \mathrm{im}\,\alpha=\{\alpha(v):v\in V\}\subseteq W. É um subespaço de W.
    • Propriedade útil: se \mathrm{im}\,\alpha=W então \alpha é sobrejetora.
  • Uma estratégia clássica (e a mais direta aqui): mostrar que \ker\alpha é T_V-invariante e que \mathrm{im}\,\alpha é T_W-invariante. Então usar a irreducibilidade de V e W para concluir que cada um desses subespaços só pode ser trivial ou total, e tirar as consequências sobre \alpha.
Vou provar as invariâncias passo a passo usando a hipótese de comutação \alpha\tau=\tau\alpha.

Passo 3

Provar que \ker\alpha é T_V-invariante.
  • Tomemos v\in\ker\alpha. Isso significa \alpha(v)=0.
  • Para qualquer \tau\in T_V (agora escrevo explicitamente as composições), \alpha(\tau(v)) = (\alpha\circ\tau)(v) = (\tau\circ\alpha)(v) = \tau(\alpha(v)).Aqui usei a hipótese \alpha\circ\tau=\tau\circ\alpha.
  • Como \alpha(v)=0, segue \tau(\alpha(v))=\tau(0)=0. Logo \alpha(\tau(v))=0, ou seja \tau(v)\in\ker\alpha.
  • Conclusão: para todo \tau\in T_V e todo v\in\ker\alpha tem-se \tau(v)\in\ker\alpha. Portanto \ker\alpha é um subespaço de V invariante por T_V.
Explicação pedagógica curta: invariância do núcleo significa que a ação de qualquer operador do conjunto não tira vetores do núcleo — e isso decorre diretamente de \alpha comutar com esses operadores.

Passo 4

Provar que \mathrm{im}\,\alpha é T_W-invariante.
  • Tome w\in\mathrm{im}\,\alpha. Então existe v\in V tal que w=\alpha(v).
  • Para qualquer \tau\in T_W (o operador correspondente em W), considere \tau(w)=\tau(\alpha(v)).
  • Usando a hipótese de comutação (na forma \tau\circ\alpha=\alpha\circ\tau), obtemos \tau(w)=\tau(\alpha(v))=(\tau\circ\alpha)(v)=(\alpha\circ\tau)(v)=\alpha(\tau(v)).
  • Como \alpha(\tau(v)) é da forma \alpha(\text{alguma coisa}), segue \tau(w)\in\mathrm{im}\,\alpha.
  • Conclusão: para todo \tau\in T_W e todo w\in\mathrm{im}\,\alpha tem-se \tau(w)\in\mathrm{im}\,\alpha. Portanto \mathrm{im}\,\alpha é um subespaço de W invariante por T_W.
Didática: a imagem é fechada sob a ação porque aplicar \tau depois de \alpha é a mesma coisa que aplicar \alpha depois de \tau (no domínio); assim o resultado continua sendo algo gerado pela \alpha.

Passo 5

Aplicar a irreducibilidade de V à \ker\alpha.
  • Como \ker\alpha é T_V-invariante, e V é T_V-irredutível, somente duas possibilidades existem:
    1. \ker\alpha=\{0\}; ou
    2. \ker\alpha=V.
  • Se \ker\alpha=V, então \alpha(v)=0 para todo v\in V, isto é, \alpha=0. Nesse caso a afirmação do enunciado já se realiza (temos \alpha=0).
  • Se \ker\alpha=\{0\}, então \alpha é injetora.
Comentário encorajador: essa é a parte “pulisso” da prova — ou \alpha mata tudo (é zero) ou não mata nenhum vetor não-nulo (é injetora).

Passo 6

Aplicar a irreducibilidade de W à \mathrm{im}\,\alpha.
  • Como \mathrm{im}\,\alpha é T_W-invariante, e W é T_W-irredutível, somente duas possibilidades existem:
    1. \mathrm{im}\,\alpha=\{0\}; ou
    2. \mathrm{im}\,\alpha=W.
  • Se \mathrm{im}\,\alpha=\{0\}, então \alpha=0.
  • Se \mathrm{im}\,\alpha=W, então \alpha é sobrejetora.
Observação: \mathrm{im}\,\alpha=\{0\} e \ker\alpha=V são duas maneiras equivalentes de dizer que \alpha é a transformação zero; as outras possibilidades levam a injetividade e sobrejetividade.

Passo 7

Concluir combinando os resultados dos passos anteriores.
  • Se \alpha=0 já está resolvido.
  • Se \alpha\neq 0 então \ker\alpha\neq V e \mathrm{im}\,\alpha\neq\{0\}. Pelos passos 5 e 6, isso força \ker\alpha=\{0\} (logo \alpha é injetora) e \mathrm{im}\,\alpha=W (logo \alpha é sobrejetora).
  • Injetora + sobrejetora implica bijetora; como \alpha é linear, isso significa que \alpha é um isomorfismo linear de V sobre W.
Portanto ou \alpha=0 ou \alpha é um isomorfismo, que era o que se pedia provar.

Resposta

\alpha=0 ou \alpha é um isomorfismo.

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