Seja
um subespaço. Um subespaço
de
é dito
-invariante se
é invariante para todo
. Dizemos que
é
-irredutível se os únicos subespaços
-invariantes de
são
e
. Prove a seguinte forma do Lema de Schur.
Suponha que
e
, que
é
-irredutível e que
é
irredutível. Seja
tal que
para todo
. Então
ou
é um isomorfismo.
Suponha que
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
e . - Dado:
é -irredutível: os únicos subespaços de que são invariantes para todo operador de são e . - Dado:
é -irredutível: os únicos subespaços de que são invariantes para todo operador de são e . - Dado:
tal que para todo .
Observação importante sobre notação (para que tudo faça sentido tipológico): ao escrever
entendemos que, para cada operador
que atua em
(i.e.
), há o operador correspondente que atua em
(com o mesmo símbolo
, visto como elemento de
), e a igualdade é entre as composições de
com esses operadores: isto é,
para cada
(onde
atua em
e
atua em
). Essa é a hipótese padrão de que
“comuta” com as ações de
.
- Objetivo: provar que ou
ou é um isomorfismo (isto é, uma bijeção linear ).
Passo 2
Definições que vou usar e porque são úteis (aulas rápidas e concretas).
- Núcleo de
: . É um subespaço de . - Propriedade útil: se
então é injetora.
- Propriedade útil: se
- Imagem de
: . É um subespaço de . - Propriedade útil: se
então é sobrejetora.
- Propriedade útil: se
- Uma estratégia clássica (e a mais direta aqui): mostrar que
é -invariante e que é -invariante. Então usar a irreducibilidade de e para concluir que cada um desses subespaços só pode ser trivial ou total, e tirar as consequências sobre .
Vou provar as invariâncias passo a passo usando a hipótese de comutação
.
Passo 3
Provar que
é
-invariante.
- Tomemos
. Isso significa . - Para qualquer
(agora escrevo explicitamente as composições), Aqui usei a hipótese . - Como
, segue . Logo , ou seja . - Conclusão: para todo
e todo tem-se . Portanto é um subespaço de invariante por .
Explicação pedagógica curta: invariância do núcleo significa que a ação de qualquer operador do conjunto não tira vetores do núcleo — e isso decorre diretamente de
comutar com esses operadores.
Passo 4
Provar que
é
-invariante.
- Tome
. Então existe tal que . - Para qualquer
(o operador correspondente em ), considere . - Usando a hipótese de comutação (na forma
), obtemos - Como
é da forma , segue . - Conclusão: para todo
e todo tem-se . Portanto é um subespaço de invariante por .
Didática: a imagem é fechada sob a ação porque aplicar
depois de
é a mesma coisa que aplicar
depois de
(no domínio); assim o resultado continua sendo algo gerado pela
.
Passo 5
Aplicar a irreducibilidade de
à
.
- Como
é -invariante, e é -irredutível, somente duas possibilidades existem: -
; ou -
.
-
- Se
, então para todo , isto é, . Nesse caso a afirmação do enunciado já se realiza (temos ). - Se
, então é injetora.
Comentário encorajador: essa é a parte “pulisso” da prova — ou
mata tudo (é zero) ou não mata nenhum vetor não-nulo (é injetora).
Passo 6
Aplicar a irreducibilidade de
à
.
- Como
é -invariante, e é -irredutível, somente duas possibilidades existem: -
; ou -
.
-
- Se
, então . - Se
, então é sobrejetora.
Observação:
e
são duas maneiras equivalentes de dizer que
é a transformação zero; as outras possibilidades levam a injetividade e sobrejetividade.
Passo 7
Concluir combinando os resultados dos passos anteriores.
- Se
já está resolvido. - Se
então e . Pelos passos 5 e 6, isso força (logo é injetora) e (logo é sobrejetora). - Injetora + sobrejetora implica bijetora; como
é linear, isso significa que é um isomorfismo linear de sobre .
Portanto ou
ou
é um isomorfismo, que era o que se pedia provar.