Suponha que τ, σ \in L(V).
Mostre que σ=τ μ, para algum μ \in L(V), se, e somente se, \operatorname{im}(σ) \subseteq \operatorname{im}(τ).

Passo 1

O enunciado dá que \tau,\sigma\in L(V) (são endomorfismos lineares de um mesmo espaço vetorial V) e pede para mostrar a equivalência bicondicional:
\sigma=\tau\mu\text{ para algum }\mu\in L(V) \quad\text{se e somente se}\quad \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \tau e \sigma são aplicações lineares V\to V.
  • \operatorname{im}(\sigma)=\{\sigma(v)\mid v\in V\} e \operatorname{im}(\tau)=\{\tau(v)\mid v\in V\}.
  • Precisamos provar duas implicações:
    (i) se existe \mu\in L(V) com \sigma=\tau\mu então \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau);
    (ii) se \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau) então existe \mu\in L(V) com \sigma=\tau\mu.

Passo 2

Prova da primeira implicação: suponha que exista \mu\in L(V) tal que \sigma=\tau\mu. Quero mostrar \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau).
Explicação didática do que estou usando: a imagem de uma composição \tau\circ\mu é contida na imagem de \tau, porque para qualquer vetor da forma (\tau\circ\mu)(v)=\tau(\mu(v)) ele é claramente um valor da aplicação \tau. Isto é simples e direto, vamos escrever formalmente.
Seja y\in\operatorname{im}(\sigma). Então existe v\in V com y=\sigma(v). Como \sigma=\tau\mu temos
y=\sigma(v)=(\tau\mu)(v)=\tau(\mu(v)).
Logo y é da forma \tau(w) com w=\mu(v)\in V, portanto y\in\operatorname{im}(\tau). Como y foi um elemento arbitrário de \operatorname{im}(\sigma), segue \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau). Isso conclui a primeira parte.

Passo 3

Preparação da prova da segunda implicação: agora suponha \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau). A ideia é construir explicitamente um \mu\in L(V) tal que \tau\mu=\sigma. A técnica padrão e prática é definir \mu em uma base de V e estendê-la linearmente.
Explicação didática do método: para definir uma aplicação linear basta decidir os valores em uma base; a extensão linear garante existência e unicidade. Como \sigma(b)\in\operatorname{im}(\tau) para cada vetor b, para cada vetor da base podemos escolher um preimagem sob \tau. Fazendo essa escolha para todos os vetores da base e definindo \mu via extensão linear, obtemos \tau\mu=\sigma em toda base e, portanto, em todo V.

Passo 4

Construção detalhada de \mu.
Escolha uma base \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\} de V. (Se V for infinito-dimensional, procede-se analogamente escolhendo uma base arbitrária; se for necessário usar o axioma da escolha para escolher preimagens, isso é um detalhe de teoria de conjuntos — na prática de álgebra linear finita isso não aparece.)
Para cada j\in\{1,\dots,n\} temos \sigma(b_j)\in\operatorname{im}(\sigma). Pela hipótese \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau), existe pelo menos um vetor v_j\in V tal que
\tau(v_j)=\sigma(b_j).
Escolha um desses v_j para cada j (se \sigma(b_j)=0 pode-se escolher v_j=0, por exemplo).
Agora defina \mu em \mathcal{B} por
\mu(b_j):=v_j,\qquad j=1,\dots,n,
e estenda \mu linearmente a todo V: para um vetor arbitrário x=\sum_j \alpha_j b_j (com escalares \alpha_j) defina
\mu(x)=\sum_j \alpha_j \mu(b_j)=\sum_j \alpha_j v_j.
Pelos resultados padrão, essa \mu é uma aplicação linear bem definida de V em V, portanto \mu\in L(V).

Passo 5

Verificação de que \tau\mu=\sigma.
Basta checar igualdade em cada vetor da base \mathcal{B}. Para cada j,
(\tau\mu)(b_j)=\tau(\mu(b_j))=\tau(v_j)=\sigma(b_j)
pela escolha de v_j. Como duas aplicações lineares que coincidem em uma base coincidem em todo V, segue \tau\mu=\sigma em todo V. Assim construímos \mu\in L(V) com a propriedade desejada.

Passo 6

Conclusão final e observações extras.
Juntando os dois sentidos: mostramos que se existe \mu com \sigma=\tau\mu então \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau), e que se \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau) então existe \mu\in L(V) com \sigma=\tau\mu. Portanto as duas condições são equivalentes.
Observação prática para prova: a construção da segunda implicação é usada com frequência em provas — escolher preimagens dos vetores de uma base e estender linearmente — e funciona tanto no caso finito quanto no infinito (com a ressalva técnica do uso de escolhas de preimagens).

Resposta

\sigma=\tau\mu\text{ para algum }\mu\in L(V)\iff \operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\tau)

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