Suponha que
.
Mostre que
, para algum
, se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá que
(são endomorfismos lineares de um mesmo espaço vetorial
) e pede para mostrar a equivalência bicondicional:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
e são aplicações lineares . -
e . - Precisamos provar duas implicações:
(i) se existecom então ;
(ii) seentão existe com .
Passo 2
Prova da primeira implicação: suponha que exista
tal que
. Quero mostrar
.
Explicação didática do que estou usando: a imagem de uma composição
é contida na imagem de
, porque para qualquer vetor da forma
ele é claramente um valor da aplicação
. Isto é simples e direto, vamos escrever formalmente.
Seja
. Então existe
com
. Como
temos
Logo
é da forma
com
, portanto
. Como
foi um elemento arbitrário de
, segue
. Isso conclui a primeira parte.
Passo 3
Preparação da prova da segunda implicação: agora suponha
. A ideia é construir explicitamente um
tal que
. A técnica padrão e prática é definir
em uma base de
e estendê-la linearmente.
Explicação didática do método: para definir uma aplicação linear basta decidir os valores em uma base; a extensão linear garante existência e unicidade. Como
para cada vetor
, para cada vetor da base podemos escolher um preimagem sob
. Fazendo essa escolha para todos os vetores da base e definindo
via extensão linear, obtemos
em toda base e, portanto, em todo
.
Passo 4
Construção detalhada de
.
Escolha uma base
de
. (Se
for infinito-dimensional, procede-se analogamente escolhendo uma base arbitrária; se for necessário usar o axioma da escolha para escolher preimagens, isso é um detalhe de teoria de conjuntos — na prática de álgebra linear finita isso não aparece.)
Para cada
temos
. Pela hipótese
, existe pelo menos um vetor
tal que
Escolha um desses
para cada
(se
pode-se escolher
, por exemplo).
Agora defina
em
por
e estenda
linearmente a todo
: para um vetor arbitrário
(com escalares
) defina
Pelos resultados padrão, essa
é uma aplicação linear bem definida de
em
, portanto
.
Passo 5
Verificação de que
.
Basta checar igualdade em cada vetor da base
. Para cada
,
pela escolha de
. Como duas aplicações lineares que coincidem em uma base coincidem em todo
, segue
em todo
. Assim construímos
com a propriedade desejada.
Passo 6
Conclusão final e observações extras.
Juntando os dois sentidos: mostramos que se existe
com
então
, e que se
então existe
com
. Portanto as duas condições são equivalentes.
Observação prática para prova: a construção da segunda implicação é usada com frequência em provas — escolher preimagens dos vetores de uma base e estender linearmente — e funciona tanto no caso finito quanto no infinito (com a ressalva técnica do uso de escolhas de preimagens).