Seja E o sólido delimitado pelo parabolóide z=1+x^2+y^2 e pelo plano z=5. Se S é a superfície de E, isto é, S=partial E com orientação positiva, então calcule a integral de superfície integralS integral F d s, onde F(x, y, z)=(3 x+y+z, x+4 y+3 z, 2 x-2 y-z).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(3x+y+z,,x+4y+3z,,2x-2y-z) pela superfície fechada S=partial E, onde E é o sólido entre o paraboloide z=1+x^2+y^2 e o plano z=5. Vamos usar o Teorema de Divergência para transformar a integral de superfície em integral de volume.

Passo 2

Segundo o Teorema de Divergência, temos
integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral triplaE (nablacdotvec F),dV
Calculamos a divergência:
nablacdotvec F = partialpartial x(3x+y+z) + partialpartial y(x+4y+3z) + partialpartial z(2x-2y-z) = 3 + 4 -1 = 6

Passo 3

O fluxo é então
integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral triplaE 6,dV = 6 cdot Vol(E)
Precisamos achar o volume de E. Como 1+x^2+y^2<= z<=5, a projeção no plano xy é o disco x^2+y^2<=4.

Passo 4

Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, com 0<= r<=2 e 0<=theta<2pi, o volume é
Vol(E)=integral duplax^2+y^2<=4l(5-(1+x^2+y^2)r),dA =integral0^2piintegral0^2(4-r^2),r,dr,dtheta
Calculando a integral:
integral0^2(4r-r^3),dr = l[2r^2-r^44r]0^2 = 8-4 =4,
portanto Vol(E)=2picdot4=8pi

Passo 5

Logo, o fluxo é
6times8pi = 48pi

Resposta

48\pi

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