Seja
o sólido delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Se
é a superfície de
, isto é,
com orientação positiva, então calcule a integral de superfície
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
pela superfície fechada
, onde
é o sólido entre o paraboloide
e o plano
. Vamos usar o Teorema de Divergência para transformar a integral de superfície em integral de volume.
Passo 2
Segundo o Teorema de Divergência, temos
Calculamos a divergência:
Passo 3
O fluxo é então
Precisamos achar o volume de
. Como
, a projeção no plano
é o disco
.
Passo 4
Usando coordenadas polares
,
, com
e
, o volume é
Calculando a integral:
portanto
Passo 5
Logo, o fluxo é
Resposta
48\pi