- Verifique se os vetores são L.I sobre
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (L.I.) no espaço vetorial
(o espaço de todas as funções reais de variável real).
Informações dadas:
- As três funções são
, e (hiperbólicas). - Precisamos dizer se essas funções são L.I. ou L.D. (linearmente dependentes) em
.
Passo 2
Definição (passo didático): um conjunto de funções
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso exista uma tripla
não toda nula que satisfaça essa igualdade para todo
, então o conjunto é linearmente dependente.
Aplicando ao nosso caso, escrevemos a combinação linear geral com escalares
:
Passo 3
Lembra da definição das funções hiperbólicas em termos das exponenciais — isso é útil e muito prático:
Essas fórmulas dizem que
e
são combinações lineares das funções
e
. Vou usar isso para manipular a combinação do passo anterior.
Passo 4
Substituindo as expressões de
e
na combinação linear temos:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Uma observação prática (e a forma mais direta de ver dependência): some
com
usando as definições:
Portanto existe a identidade exata
Passo 6
Conclusão lógica: a igualdade do passo anterior mostra que existem escalares
, não todos nulos, que satisfazem a combinação linear nula. Pelo critério de linearidade, isso já prova que as três funções são linearmente dependentes. Não é necessário forçar que todos os coeficientes sejam zero — basta encontrar uma combinação não trivial que dê a função zero.
Dica rápida para a prova: ao ver funções hiperbólicas, sempre teste as identidades
— elas frequentemente geram dependências com exponenciais.
Resposta
Linearmente dependentes.