1. Verifique se os vetores são L.I sobre V.
(e) \left\{e^{x}, \operatorname{cosh} x, \operatorname{senh} x\right\}, V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{e^{x}, \operatorname{cosh} x, \operatorname{senh} x\} é linearmente independente (L.I.) no espaço vetorial V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) (o espaço de todas as funções reais de variável real).
Informações dadas:
  • As três funções são e^{x}, \operatorname{cosh} x e \operatorname{senh} x (hiperbólicas).
  • Precisamos dizer se essas funções são L.I. ou L.D. (linearmente dependentes) em V.

Passo 2

Definição (passo didático): um conjunto de funções \{f_1,f_2,f_3\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a f_1(x) + b f_2(x) + c f_3(x) = 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}
é a=b=c=0. Caso exista uma tripla (a,b,c) não toda nula que satisfaça essa igualdade para todo x, então o conjunto é linearmente dependente.
Aplicando ao nosso caso, escrevemos a combinação linear geral com escalares a,b,c\in\mathbb{R}:
a e^{x} + b \operatorname{cosh} x + c \operatorname{senh} x = 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Lembra da definição das funções hiperbólicas em termos das exponenciais — isso é útil e muito prático:
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{senh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Essas fórmulas dizem que \operatorname{cosh} x e \operatorname{senh} x são combinações lineares das funções e^{x} e e^{-x}. Vou usar isso para manipular a combinação do passo anterior.

Passo 4

Substituindo as expressões de \operatorname{cosh} x e \operatorname{senh} x na combinação linear temos:
a e^{x} + b\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) + c\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right) = 0.
Agrupando os termos em e^{x} e e^{-x}:
\left(a+\frac{b+c}{2}\right)e^{x} + \left(\frac{b-c}{2}\right)e^{-x} = 0\quad\text{para todo }x.

Passo 5

Uma observação prática (e a forma mais direta de ver dependência): some \operatorname{cosh} x com \operatorname{senh} x usando as definições:
\operatorname{cosh} x + \operatorname{senh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} + \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = \frac{2e^{x}}{2} = e^{x}.
Portanto existe a identidade exata
e^{x} - \operatorname{cosh} x - \operatorname{senh} x = 0\quad\text{(para todo }x).

Passo 6

Conclusão lógica: a igualdade do passo anterior mostra que existem escalares (a,b,c)=(1,-1,-1), não todos nulos, que satisfazem a combinação linear nula. Pelo critério de linearidade, isso já prova que as três funções são linearmente dependentes. Não é necessário forçar que todos os coeficientes sejam zero — basta encontrar uma combinação não trivial que dê a função zero.
Dica rápida para a prova: ao ver funções hiperbólicas, sempre teste as identidades \operatorname{cosh} x\pm\operatorname{sinh} x — elas frequentemente geram dependências com exponenciais.

Resposta

Linearmente dependentes.

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