Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T in L(V). Prove que todo vetor 0 neq v in V é um vetor cíclico para T se, e somente se, o polinômio característico de T é irredutível em K[x].

Passo 1

A questão pede para mostrar a equivalência entre “todo vetor não‐nulo de V é cíclico para T” e “o polinômio característico de T é irredutível em K[x]”. Vamos usar teoria de polinômios mínimo e característico, módulos sobre K[x] e decomposição de subespaços invariantes.

Passo 2

Definimos as ideias principais:
– O polinômio característico de T é
chiT(x)=det(xI-T)inK[x],
monico de grau n=dim V.
– O polinômio mínimo de T, denotado mT(x), é o monico de menor grau tal que mT(T)=0 e satisfaz mT(x)midchiT(x).
– Para um vetor vneq0, chamamos de subespaço cíclico
Wv=spanv,Tv,dots. Definimos o polinômio mínimo de v, mv(x), como o monico mínimo com mv(T)v=0; note que mv(x)mid mT(x).
– Dizemos que v é vetor cíclico se Wv=V, ou seja, dim Wv=n.

Passo 3

O vínculo entre vetor cíclico e polinômios é:
dim Wv=deg mv(x).
– Se v é cíclico então
deg mv=n=degchiT, o que força
mv(x)=chiT(x).
Em particular, isso implica mT(x)=chiT(x).

Passo 4

Prova da “se todo vetor não‐nulo é cíclico, então chiT é irredutível":
Suponha, por absurdo, que
chiT(x)=f(x)g(x) com f,ginK[x], monicos de grau >0.
Então o subespaço
U=ker f(T)
é não trivial e próprio, porque f,g coprimos implicam
V=ker f(T)oplus ker g(T).
Escolhendo vin Usetminus0, vemos que
Wvsubseteq Uneq V, logo v não é cíclico, contradição.
Portanto chiT não admite fatoração não trivial, ou seja, é irredutível.

Passo 5

Prova da “se chiT é irredutível, então todo vetor não‐nulo é cíclico":
Como chiT é irredutível e monico, e mTmidchiT, só há duas opções: mT=1 ou mT=chiT.
A primeira não pode ocorrer (isso daria T=0 ou identidade trivial), então mT=chiT.
Isso faz de V um K[x]-módulo cíclico isomorfo a
K[x]/(chiT(x)).
Como chiT irredutível gera um ideal maximal,
F:=K[x]/(chiT) é um corpo, e V fica com dimensão 1 sobre F.
Logo, dado qualquer vneq0, o mapa
phi:K[x]to V, p(x)mapsto p(T)v
é sobrejetor com núcleo exatamente o ideal (chiT).
Isto mostra que
V=Im,phi=spanv,Tv,dots=Wv,
ou seja, v é cíclico.

Passo 6

Chegamos assim à conclusão desejada: chiT(x) é irredutível em K[x] se, e somente se, todo vetor vneq0 é cíclico para T.

Resposta

A condição de que todo vetor não-nulo de V seja cíclico para T é equivalente a afirmar que o polinômio característico de T é irredutível em K[x].

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