Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
. Prove que todo vetor
é um vetor cíclico para
se, e somente se, o polinômio característico de
é irredutível em
.
Passo 1
A questão pede para mostrar a equivalência entre “todo vetor não‐nulo de V é cíclico para T” e “o polinômio característico de T é irredutível em
”. Vamos usar teoria de polinômios mínimo e característico, módulos sobre
e decomposição de subespaços invariantes.
Passo 2
Definimos as ideias principais:
– O polinômio característico de é
– O polinômio característico de
monico de grau
.
– O polinômio mínimo de , denotado
, é o monico de menor grau tal que
e satisfaz
.
– Para um vetor , chamamos de subespaço cíclico
. Definimos o polinômio mínimo de
,
, como o monico mínimo com
; note que
.
– Dizemos que é vetor cíclico se
, ou seja,
.
– O polinômio mínimo de
– Para um vetor
– Dizemos que
Passo 3
O vínculo entre vetor cíclico e polinômios é:
– .
– Se é cíclico então
, o que força
.
Em particular, isso implica .
–
– Se
Em particular, isso implica
Passo 4
Prova da “se todo vetor não‐nulo é cíclico, então
é irredutível":
Suponha, por absurdo, que
com
, monicos de grau
.
Então o subespaço
Suponha, por absurdo, que
Então o subespaço
é não trivial e próprio, porque
coprimos implicam
.
Escolhendo , vemos que
, logo
não é cíclico, contradição.
Portanto não admite fatoração não trivial, ou seja, é irredutível.
Escolhendo
Portanto
Passo 5
Prova da “se
é irredutível, então todo vetor não‐nulo é cíclico":
Como é irredutível e monico, e
, só há duas opções:
ou
.
A primeira não pode ocorrer (isso daria ou identidade trivial), então
.
Isso faz de um
-módulo cíclico isomorfo a
.
Como irredutível gera um ideal maximal,
é um corpo, e
fica com dimensão 1 sobre
.
Logo, dado qualquer , o mapa
Como
A primeira não pode ocorrer (isso daria
Isso faz de
Como
Logo, dado qualquer
é sobrejetor com núcleo exatamente o ideal
.
Isto mostra que
,
ou seja, é cíclico.
Isto mostra que
ou seja,
Passo 6
Chegamos assim à conclusão desejada:
é irredutível em
se, e somente se, todo vetor
é cíclico para
.
Resposta
A condição de que todo vetor não-nulo de V seja cíclico para T é equivalente a afirmar que o polinômio característico de T é irredutível em
.