Seja
uma série de potências. Determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação:
Passo 1
Resumo do problema: temos a série de potências
e queremos que ela satisfaça a equação diferencial
Conteúdo: método da série de potências para EDO de segunda ordem, em que substituímos
e suas derivadas pela série e igualamos coeficientes de cada potência de
.
Passo 2
Vamos calcular
. Partindo de
temos
e
Reindexando com
, obtemos
Passo 3
Agora
:
Reindexando com
(ou seja
), fica
Passo 4
Somamos as duas séries e igualamos a zero:
Para cada
o coeficiente de
deve ser zero.
- Se
: - Se
: - Se
:
Resposta
A relação de recorrência que garante
é, para
,
com as condições iniciais
e
. Equivalentemente, para
,