Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
y^prime prime+x^2 y=0

Passo 1

Resumo do problema: temos a série de potências
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
e queremos que ela satisfaça a equação diferencial
y''+x^2y=0
Conteúdo: método da série de potências para EDO de segunda ordem, em que substituímos y e suas derivadas pela série e igualamos coeficientes de cada potência de x.

Passo 2

Vamos calcular y''. Partindo de
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n,
temos
y'(x)=sumn=1^inftyann!,n,x^n-1 =sumn=1^inftyan(n-1)!x^n-1,
e
y''(x) =sumn=2^inftyan(n-1)!,(n-1),x^n-2 =sumn=2^inftyan(n-2)!x^n-2
Reindexando com k=n-2, obtemos
y''(x)=sumk=0^inftyak+2k!x^k

Passo 3

Agora x^2y:
x^2y =x^2sumn=0^inftyann!x^n =sumn=0^inftyann!x^n+2
Reindexando com k=n+2 (ou seja n=k-2), fica
x^2y=sumk=2^inftyak-2(k-2)!x^k

Passo 4

Somamos as duas séries e igualamos a zero:
y''+x^2y =sumk=0^inftyak+2k!x^k +sumk=2^inftyak-2(k-2)!x^k =0
Para cada k o coeficiente de x^k deve ser zero.
  • Se k=0: a20!=0implies a2=0
  • Se k=1: a31!=0implies a3=0
  • Se k>=2: ak+2k!+ak-2(k-2)!=0 ;Longrightarrow; ak+2 + k(k-1),ak-2=0 ;Longrightarrow; ak+2=-k(k-1),ak-2

Resposta

A relação de recorrência que garante y''+x^2y=0 é, para k>=2,
ak+2=-k(k-1),ak-2,
com as condições iniciais a2=0 e a3=0. Equivalentemente, para n>=0,
an+4 = -(,n+2,)(,n+1,),an

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