Sejam X_{1} e X_{2} duas v.a.'s independentes e identicamente distribuídas (iid) com distribuição \operatorname{Exp}(1).
Calcule P\left(X_{1} \geq 1, X_{2} \geq 2\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
P\bigl(X_{1}\ge1,\;X_{2}\ge2\bigr)
sabendo que X_{1} e X_{2} são independentes e identicamente distribuídas como \operatorname{Exp}(1). Para resolver, vamos usar a função de sobrevivência da exponencial e a independência.

Passo 2

Para uma variável aleatória X\sim \operatorname{Exp}(\lambda), a função de sobrevivência é
S_X(x)=P(X\ge x)=e^{-\lambda x}.
Aqui \lambda=1, então
P(X\ge x)=e^{-x}.

Passo 3

Como X_{1} e X_{2} são independentes,
P(X_{1}\ge1,\;X_{2}\ge2) = P(X_{1}\ge1)\;P(X_{2}\ge2).
Aplicando a sobrevivência com \lambda=1:
P(X_{1}\ge1)=e^{-1}, \quad P(X_{2}\ge2)=e^{-2}.
Portanto
P(X_{1}\ge1,\;X_{2}\ge2) =e^{-1}\times e^{-2}=e^{-3}.

Resposta

e^{-3}

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