Seja
, em que
e
é inteiro positivo.
(a) Se o tempo entre as chegadas de clientes for distribuído exponencialmente com 0,5 , qual é a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos?
(b) O evento
ocorre se e somente se ao menos
eventos ocorrerem nas próximas
unidades de tempo. Use o fato de que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de duração t possui uma distribuição de Poisson com parâmetro t para escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang
.
(a) Se o tempo entre as chegadas de clientes for distribuído exponencialmente com 0,5 , qual é a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos?
(b) O evento
Passo 1
O enunciado trata de uma variável aleatória
com distribuição Gama de parâmetros
, também chamada de Erlang quando
é inteiro positivo. Sabemos que
No item (a) temos
,
e queremos
.
No item (b) vamos usar o fato de que, para Erlang
,
No item (b) vamos usar o fato de que, para
onde
.
Passo 2
Para qualquer
inteiro e
, a função de distribuição acumulada (FDA) de
pode ser escrita como
Como
, temos
logo
Passo 3
No item (a) substituímos
,
e
na expressão acima:
Passo 4
No item (b) basta escrever a FDA genérica de Erlang
em termos de probabilidades de Poisson com parâmetro
:
Resposta
(a)
(b)
(b)