Seja X sim Gama(n ; lambda), em que E(X)=n / lambda e n é inteiro positivo.
(a) Se o tempo entre as chegadas de clientes for distribuído exponencialmente com 0,5 , qual é a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos?
(b) O evento X <= t ocorre se e somente se ao menos n eventos ocorrerem nas próximas t unidades de tempo. Use o fato de que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de duração t possui uma distribuição de Poisson com parâmetro t para escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang F(t)=P(X <= t).

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X com distribuição Gama de parâmetros (n,lambda), também chamada de Erlang quando n é inteiro positivo. Sabemos que
E(X)=nlambda
No item (a) temos n=10, lambda=0,5 e queremos P(X<=30).
No item (b) vamos usar o fato de que, para X Erlang (n,lambda),
P(X<= t)=Pl(N(t)>= nr),
onde N(t)simPoisson(lambda t).

Passo 2

Para qualquer n inteiro e lambda>0, a função de distribuição acumulada (FDA) de XsimErlang(n,lambda) pode ser escrita como
P(X<= t) =sumk=n^inftyPl(N(t)=kr) =1-sumk=0^n-1Pl(N(t)=kr)
Como N(t)simPoisson(lambda t), temos
Pl(N(t)=kr) =e^-lambda t,(lambda t)^kk!,
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P(X<= t) =1-sumk=0^n-1e^-lambda t,(lambda t)^kk!

Passo 3

No item (a) substituímos n=10, lambda=0,5 e t=30 na expressão acima:
Pl(X<=30r) =1-sumk=0^9e^-0,5cdot30,(0,5cdot30)^kk! =1-e^-15sumk=0^915^kk!

Passo 4

No item (b) basta escrever a FDA genérica de Erlang (n,lambda) em termos de probabilidades de Poisson com parâmetro lambda t:
F(t)=P(X<= t) =1-sumk=0^n-1e^-lambda t,(lambda t)^kk!

Resposta

(a) Pl(X<=30r)=1-e^-15sumk=0^915^kk!
(b) F(t)=P(X<= t)=1-sumk=0^n-1e^-lambda t,(lambda t)^kk!

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