O tempo entre chegadas sucessivas de clientes a uma agência lotérica segue uma distribuição Exponencial com média 5 minutos. Determine:
(a) o tempo esperado até a chegada do quinto cliente.
(b) a probabilidade de que um tempo entre chegadas sucessivas exceda 7 minutos, uma vez que já se tenham passado 5 minutos sem que chegassem clientes.

Passo 1

O enunciado diz que os tempos entre chegadas sucessivas seguem uma distribuição Exponencial com média de 5 minutos. Isso significa que cada tempo T satisfaz
Tsim Exp(lambda),
com
E[T]=1lambda=5Longrightarrow lambda=15
Precisamos usar dois resultados clássicos:
  1. A soma de n variáveis Exponenciais iid é uma distribuição Gama (ou Erlang) com parâmetro de forma n e taxa lambda, cuja esperança é n/lambda.
  2. A propriedade de falta de memória da Exponencial: para s,t>=0,
P(T>s+tmid T>s)=P(T>t)

Passo 2

Para (a), o tempo até a chegada do quinto cliente é a soma de cinco i.i.d. Exponenciais, digamos
Y = T1 + T2 + T3 + T4 + T5,
cada Tisim Exp(lambda). Logo Ysim Gamma(n=5,lambda) e
E[Y] = nlambda = 5 times 5 = 25 minutos

Passo 3

Para (b), queremos
P(T>7 mid T>5)
Pela falta de memória da Exponencial,
P(T>7 mid T>5) = P(T>7-5) = P(T>2) = e^-lambdacdot2 = e^-tfrac15,2 = e^-tfrac25approx0,449

Resposta

(a) 25 minutos.
(b) e^-2/5approx0,449.

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