O tempo entre chegadas sucessivas de clientes a uma agência lotérica segue uma distribuição Exponencial com média 5 minutos. Determine:
(a) o tempo esperado até a chegada do quinto cliente.
(b) a probabilidade de que um tempo entre chegadas sucessivas exceda 7 minutos, uma vez que já se tenham passado 5 minutos sem que chegassem clientes.
(a) o tempo esperado até a chegada do quinto cliente.
(b) a probabilidade de que um tempo entre chegadas sucessivas exceda 7 minutos, uma vez que já se tenham passado 5 minutos sem que chegassem clientes.
Passo 1
O enunciado diz que os tempos entre chegadas sucessivas seguem uma distribuição Exponencial com média de
minutos. Isso significa que cada tempo
satisfaz
com
Precisamos usar dois resultados clássicos:
- A soma de
variáveis Exponenciais iid é uma distribuição Gama (ou Erlang) com parâmetro de forma e taxa , cuja esperança é . - A propriedade de falta de memória da Exponencial: para
,
Passo 2
Para (a), o tempo até a chegada do quinto cliente é a soma de cinco i.i.d. Exponenciais, digamos
cada
. Logo
e
Passo 3
Para (b), queremos
Pela falta de memória da Exponencial,
Resposta
(a)
minutos.
(b) .
(b)