Suponha que n=900, determine c tal que P(|Snn-p| >= c)=0,01.

Passo 1

O enunciado diz que Sn é o número de sucessos em n=900 ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p. Queremos achar c tal que
Pl(|Sn/n - p|>= cr)=0,01
O conteúdo usado será o Teorema Central do Limite (TCL) aplicado à proporção amostral hat p = Sn/n.

Passo 2

Pelo TCL, para n grande temos
hat p = Snnapprox N!l(p,;tfracp(1-p)nr)
Logo a variável padronizada
Z = hat p - praizp(1-p)/n
é aproximadamente N(0,1).

Passo 3

Reescrevendo a probabilidade em termos de Z:
Pl(|hat p - p|>= cr) = Pl(l|Zr|>= craizp(1-p)/nr) = 2l[1-Phil(tfraccraizp(1-p)/nr)r]

Passo 4

Queremos
2l[1-Phil(tfraccraizp(1-p)/nr)r]=0,01 Longrightarrow 1-Phil(tfraccraizp(1-p)/nr)=0,005
Chamando z0.995 a quantil de nível 0,995 da normal padrão, temos
craizp(1-p)/n=z0.995 Longrightarrow c = z0.995,raizp(1-p)n

Passo 5

Sabendo que z0.995approx2,5758 e n=900, obtemos
c approx 2,5758;raizp(1-p)900 = 2,575830,raizp(1-p)

Resposta

c = z0.995,raizp(1-p)900 approx 2,5758,raizp(1-p)900

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