Seja X \sim \mathcal{N}(5,16). Calcule:
P(X \geq 1)

Passo 1

O enunciado pede o valor de P(X\geq 1) para uma variável aleatória X com distribuição normal dada por X\sim\mathcal{N}(5,16).
Informações fornecidas: a média é \mu=5 e a variância é \sigma^2=16. Não há outras condições extras.

Passo 2

Primeira coisa prática: a desviopadrão \sigma é a raiz quadrada da variância. Calculamos
\sigma=\sqrt{16}=4.
Também lembramos que, por X ser contínua, P(X\geq 1)=P(X>1)=1-P(X\leq 1). Vou usar a técnica padrão de transformar X numa normal padrão.

Passo 3

Definimos a normal padrão Z por padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio-padrão. Explicando as variáveis: \mu desloca a distribuição (centro) e \sigma escala a largura; essa transformação leva X para uma variável com média 0 e variância 1.

Passo 4

Aplicamos a padronização ao ponto x=1:
z=\frac{1-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1.

Passo 5

Transformamos a probabilidade pedida em probabilidade da normal padrão:
P(X\geq 1)=P\!\left(\frac{X-5}{4}\geq -1\right)=P(Z\geq -1).
Usando a simetria da normal padrão ( \Phi é a função de distribuição acumulada de Z, e \Phi(-a)=1-\Phi(a)), temos
P(Z\geq -1)=1-P(Z<-1)=1-\Phi(-1)=\Phi(1).
Ou seja, a probabilidade pedida é \Phi(1).

Passo 6

Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor de \Phi(1) é aproximadamente 0{,}8413. Portanto
P(X\geq 1)\approx 0{,}8413.
Se quiser, memorize: para z=1 a CDF é cerca de 0{,}84, o que significa que aproximadamente 84{,}13\% da massa da normal está à esquerda de z=1, e logo P(X\ge1) é esse valor.

Resposta

0,8413

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