- Seja um sistema LCIT representado por
, assumindo que
e
. Utilize a transformada de Laplace para obter a resposta do sistema
a um sinal de entrada
e condição inicial não nula
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pede: obter a resposta do sistema
para a entrada e condições iniciais e , onde o sistema é dado por
- Dados da equação diferencial (extraídos do enunciado):
-
, logo a equação diferencial é
-
. - Entrada:
. - Condições iniciais:
e .
-
Passo 2
Breve revisão da ferramenta que vamos usar: transformada de Laplace e a transformada de derivadas.
- Definição útil: se
então Aqui e são as condições iniciais — por isso aparecem nas fórmulas. - Também usaremos
(válido para ).
Passo 3
Transformar ambos os lados da equação diferencial.
A equação no tempo é
Aplicando a transformada de Laplace a todo o lado esquerdo e usando as fórmulas de derivadas:
Substituindo
e
:
Passo 4
Transformada do lado direito (entrada).
- Primeiro observe que
. - Para
vale . - Podemos também calcular diretamente
. Logo
(Alternativamente, usando as fórmulas:
e então
.)
Passo 5
Montar a equação algébrica em
e resolver para
.
A igualdade das transformadas dá
Isolando
:
Colocando em comum denominador
no numerador:
Expandindo e simplificando o numerador e fatorando o denominador quadrático:
logo o numerador fica
. E
Portanto
Para facilitar a inversão, escreve-se
Passo 6
Fazer a decomposição em frações parciais.
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
é prático avaliar em
:
-
Em
: então. -
Em
: então. -
Em
: então.
Logo
Passo 7
Inverter a transformada de Laplace para obter
.
Usando
, obtemos para
:
Vamos checar rapidamente as condições iniciais (como verificação):
-
correto. -
, então correto.