1. Seja um sistema LCIT representado por Q(D) y(t)=P(D) x(t), assumindo que Q(D)=D^{2}+3 D+2 e P(D)=D-2. Utilize a transformada de Laplace para obter a resposta do sistema y(t) a um sinal de entrada x(t)=e^{-3 t} u(t) e condição inicial não nula \dot{y}(0)=1 e y(0)=-1.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede: obter a resposta do sistema y(t) para a entrada x(t)=e^{-3t}u(t) e condições iniciais \dot{y}(0)=1 e y(0)=-1, onde o sistema é dado por
Q(D)y(t)=P(D)x(t).
  • Dados da equação diferencial (extraídos do enunciado):
    • Q(D)=D^{2}+3D+2, logo a equação diferencial é
    y''(t)+3y'(t)+2y(t)=\bigl(D-2\bigr)x(t).
    • P(D)=D-2.
    • Entrada: x(t)=e^{-3t}u(t).
    • Condições iniciais: y(0)=-1 e \dot{y}(0)=1.

Passo 2

Breve revisão da ferramenta que vamos usar: transformada de Laplace e a transformada de derivadas.
  • Definição útil: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).Aqui y(0) e y'(0) são as condições iniciais — por isso aparecem nas fórmulas.
  • Também usaremos \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=\dfrac{1}{s+a} (válido para \Re(s)>-a).

Passo 3

Transformar ambos os lados da equação diferencial.
A equação no tempo é
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x'(t)-2x(t).
Aplicando a transformada de Laplace a todo o lado esquerdo e usando as fórmulas de derivadas:
\mathcal{L}\{y''\} + 3\mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + 3\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 2Y(s).
Substituindo y(0)=-1 e y'(0)=1:
s^{2}Y(s)-s(-1)-1 + 3sY(s)-3(-1) + 2Y(s) = \bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s) + (s+2).

Passo 4

Transformada do lado direito (entrada).
  • Primeiro observe que (D-2)x(t) = x'(t)-2x(t).
  • Para x(t)=e^{-3t}u(t) vale \mathcal{L}\{x\}=\dfrac{1}{s+3}.
  • Podemos também calcular diretamente x'(t)-2x(t)=(-3-2)e^{-3t} = -5 e^{-3t}. Logo \mathcal{L}\{x'(t)-2x(t)\} = \mathcal{L}\{-5 e^{-3t}\} = -\frac{5}{s+3}.
(Alternativamente, usando as fórmulas: \mathcal{L}\{x'\}=s\mathcal{L}\{x\}-x(0)=\dfrac{s}{s+3}-1=-\dfrac{3}{s+3} e então -\dfrac{3}{s+3}-2\cdot\dfrac{1}{s+3}=-\dfrac{5}{s+3}.)

Passo 5

Montar a equação algébrica em s e resolver para Y(s).
A igualdade das transformadas dá
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s) + (s+2) = -\frac{5}{s+3}.
Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{-\dfrac{5}{s+3} - (s+2)}{s^{2}+3s+2}.
Colocando em comum denominador (s+3) no numerador:
Y(s) = \frac{-5 - (s+2)(s+3)}{(s+3)\,(s^{2}+3s+2)}.
Expandindo e simplificando o numerador e fatorando o denominador quadrático:
(s+2)(s+3)=s^{2}+5s+6,
logo o numerador fica -5 - (s^{2}+5s+6)= -s^{2}-5s-11. E
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{-s^{2}-5s-11}{(s+1)(s+2)(s+3)}.
Para facilitar a inversão, escreve-se
Y(s)=-\frac{s^{2}+5s+11}{(s+1)(s+2)(s+3)}.

Passo 6

Fazer a decomposição em frações parciais.
Procuramos constantes A,B,C tais que
-\frac{s^{2}+5s+11}{(s+1)(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3) obtemos
A(s+2)(s+3)+B(s+1)(s+3)+C(s+1)(s+2)=-(s^{2}+5s+11).
Para achar A,B,C é prático avaliar em s=-1,-2,-3:
  • Em s=-1:
    A\cdot(1)\cdot(2)=2A= -\bigl((-1)^{2}+5(-1)+11\bigr) = -(1-5+11)= -7,
    então A=-\dfrac{7}{2}.
  • Em s=-2:
    B\cdot(-1)\cdot(1)=-B = -\bigl(4-10+11\bigr) = -5,
    então B=5.
  • Em s=-3:
    C\cdot(-2)\cdot(-1)=2C = -\bigl(9-15+11\bigr) = -5,
    então C=-\dfrac{5}{2}.
Logo
Y(s) = -\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{s+1} + 5\cdot\frac{1}{s+2} - \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s+3}.

Passo 7

Inverter a transformada de Laplace para obter y(t).
Usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}u(t), obtemos para t\ge 0:
y(t) = -\frac{7}{2}e^{-t} + 5e^{-2t} - \frac{5}{2}e^{-3t}.
Vamos checar rapidamente as condições iniciais (como verificação):
  • y(0) = -\dfrac{7}{2} + 5 - \dfrac{5}{2} = -1 correto.
  • \dot{y}(t)=\dfrac{7}{2}e^{-t}-10e^{-2t}+\dfrac{15}{2}e^{-3t}, então \dot{y}(0)=\dfrac{7}{2}-10+\dfrac{15}{2}=1 correto.

Resposta

y(t) = -\frac{7}{2}e^{-t} + 5e^{-2t} - \frac{5}{2}e^{-3t},\quad t\ge 0

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