Resolva pelo método L U :
\left\{\begin{array}{c} 5 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=10 \\\\ 3 x_{1}+9,4 x_{2}+1,8 x_{3}=22 \\\ x_{1}+2,2x_{2}-4,6x_{3}=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método LU:
\left\{\begin{array}{r} 5 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=10 \\\\ 3 x_{1}+9,4 x_{2}+1,8 x_{3}=22 \\\ x_{1}+2,2x_{2}-4,6x_{3}=10 \end{array}\right.
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
  • Matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2\\[4pt] 3 & 9,4 & 1,8\\[4pt] 1 & 2,2 & -4,6 \end{pmatrix}
  • Vetor dos termos independentes
b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]22\\[4pt]10\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar o vetor solução x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} usando decomposição A=LU, onde L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior, e então resolver Ly=b (substituição para frente) e Ux=y (substituição para trás).]

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo prático, bem mastigado):
  • A decomposição A=LU significa escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com diagonal igual a 1 no caso do método de Doolittle) e uma matriz triangular superior U.
  • Para construir L e U fazemos eliminação de Gauss sem trocar linhas; os multiplicadores usados para zerar entradas abaixo da diagonal de A formam os elementos abaixo da diagonal de L.
  • Depois de obter L e U, resolvemos sequencialmente Ly=b (encontrando y por substituição direta para frente) e então Ux=y (encontrando x por substituição para trás).
    Vou aplicar a variante de Doolittle: L tem 1 na diagonal.

Passo 3

Primeira coluna: calculo dos multiplicadores para zerar as entradas abaixo de a_{11}.
  • a_{11}=5. Os multiplicadores são
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{3}{5}=0,6, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{5}=0,2.
  • Atualizo as linhas 2 e 3 de A subtraindo os multiplicadores vezes a linha 1, para obter a forma intermediária de U.
Cálculos (cada componente):
Linha 2 nova:
\begin{aligned} u_{22}&=9,4-\ell_{21}\cdot 1=9,4-0,6=8,8,\\[4pt] u_{23}&=1,8-\ell_{21}\cdot 2=1,8-1,2=0,6. \end{aligned}
Linha 3 nova:
\begin{aligned} u_{32}&=2,2-\ell_{31}\cdot 1=2,2-0,2=2,0,\\[4pt] u_{33}&=-4,6-\ell_{31}\cdot 2=-4,6-0,4=-5,0. \end{aligned}
Depois dessa etapa, temos parcialmente
U=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 8,8 & 0,6\\[4pt] 0 & 2,0 & -5,0 \end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0,6 & 1 & 0\\[4pt] 0,2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Segunda etapa: eliminar u_{32} usando a segunda linha como pivô. O multiplicador é
\ell_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}=\frac{2,0}{8,8}.
Expressando como fração simplificada:
\ell_{32}=\frac{2,0}{8,8}=\frac{20}{88}=\frac{5}{22}\approx0,2272727\ldots
Atualizo u_{33}:
u_{33}^{\text{(final)}}=-5,0-\ell_{32}\cdot 0,6.
Calcule \ell_{32}\cdot 0,6 como fração:
0,6=\frac{3}{5},\qquad \ell_{32}=\frac{5}{22}\quad\Rightarrow\quad \ell_{32}\cdot 0,6=\frac{5}{22}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{22}.
Portanto
u_{33}=-5,0-\frac{3}{22}=-5-\frac{3}{22}=-\frac{113}{22}\approx-5,1363636\ldots
Agora as matrizes finais L e U são
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0,6 & 1 & 0\\[4pt] 0,2 & \dfrac{5}{22} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2\\[6pt] 0 & 8,8 & 0,6\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{113}{22} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver Ly=b por substituição para frente. Escrevo o sistema componente a componente:
\begin{aligned} y_{1}&=b_{1}=10,\\[4pt] y_{2}&=b_{2}-\ell_{21}y_{1}=22-0,6\cdot 10=22-6=16,\\[4pt] y_{3}&=b_{3}-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2}=10-0,2\cdot 10-\frac{5}{22}\cdot 16. \end{aligned}
Calcule y_{3} passo a passo:
10-0,2\cdot 10=10-2=8, \qquad \frac{5}{22}\cdot 16=\frac{80}{22}=\frac{40}{11}.
Então
y_{3}=8-\frac{40}{11}=\frac{88}{11}-\frac{40}{11}=\frac{48}{11}\approx4,363636\ldots
Logo
y=\begin{pmatrix}10\\[4pt]16\\[4pt]\dfrac{48}{11}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver Ux=y por substituição para trás. Escrevo as equações de baixo para cima.
Terceira equação:
u_{33}x_{3}=y_{3}\quad\Rightarrow\quad -\frac{113}{22}x_{3}=\frac{48}{11}.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{\tfrac{48}{11}}{-\tfrac{113}{22}}=\frac{48}{11}\cdot\frac{22}{-113} =\frac{48\cdot 22}{11\cdot(-113)}.
Simplificando 22/11=2:
x_{3}=\frac{48\cdot 2}{-113}=\frac{96}{-113}=-\frac{96}{113}\approx-0,8495575.
Segunda equação:
8,8\,x_{2}+0,6\,x_{3}=16.
Isolando x_{2}:
x_{2}=\frac{16-0,6\,x_{3}}{8,8}.
Substituindo x_{3}=-\dfrac{96}{113} e usando cálculos racionais:
0,6\,x_{3}=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{96}{113}\right)=-\frac{288}{565}.
Escrevendo 16=\dfrac{16\cdot 565}{565}=\dfrac{9040}{565}, temos
x_{2}=\frac{\dfrac{9040}{565}-\left(-\dfrac{288}{565}\right)}{8,8} =\frac{\dfrac{9328}{565}}{\tfrac{44}{5}} =\dfrac{9328}{565}\cdot\dfrac{5}{44}.
Simplificando 565=5\cdot 113 e cancelando o 5:
x_{2}=\dfrac{9328}{113\cdot 44}=\dfrac{9328}{4972}=\dfrac{212}{113}\approx1,87610619.
Primeira equação:
5x_{1}+x_{2}+2x_{3}=10\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{10-x_{2}-2x_{3}}{5}.
Substituindo frações x_{2}=\dfrac{212}{113} e x_{3}=-\dfrac{96}{113}:
10-x_{2}-2x_{3}=10-\frac{212}{113}+ \frac{192}{113}=10-\frac{20}{113}.
Escrevendo 10=\dfrac{1130}{113}:
10-\frac{20}{113}=\frac{1130-20}{113}=\frac{1110}{113}.
Então
x_{1}=\frac{\tfrac{1110}{113}}{5}=\frac{1110}{565}=\frac{222}{113}\approx1,96460177.

Passo 7

Resumo das contas finais (valores racionais exatos e aproximações decimais):
x_{1}=\frac{222}{113}\approx1,96460177,\qquad x_{2}=\frac{212}{113}\approx1,87610619,\qquad x_{3}=-\frac{96}{113}\approx-0,84955752.

Resposta

x_{1}=\dfrac{222}{113}\approx1,96460177
x_{2}=\dfrac{212}{113}\approx1,87610619
x_{3}=-\dfrac{96}{113}\approx-0,84955752

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