Seja o sistema
\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\\ 1 & 3 & 0 \\\ -4 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -1 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right]
Determinar a solução do sistema utilizando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente. Precisamos encontrar a solução usando eliminação de Gauss sem pivoteamento. Dados relevantes:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] -4 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
O que o problema pede: determinar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, aplicando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (aula rápida): eliminação de Gauss transforma o sistema numa forma triangular superior realizando operações elementares sobre as linhas. Para zerar uma entrada a_{ji} (linha j, coluna i) usamos o multiplicador
m_{ji}=\frac{a_{ji}}{a_{ii}},
onde a_{ii} é o pivô (elemento da diagonal na linha i). A operação na linha j é
\text{Linha}_j \leftarrow \text{Linha}_j - m_{ji}\,\text{Linha}_i.
Isso preserva as soluções do sistema. Como o enunciado pede “sem pivoteamento”, assumimos que o pivô a_{ii} nunca será zero nas etapas que fazemos; se fosse zero teríamos que trocar linhas (pivoteamento), mas aqui não será necessário — vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevendo o sistema aumentado (matriz dos coeficientes junto com o termo independente) para trabalhar:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 4\\[4pt] -4 & 1 & 1 & -3 \end{array}\right]
Primeiro pivô é a_{11}=-1, que é diferente de zero, então podemos prosseguir sem trocar linhas.
Calculamos os multiplicadores para eliminar as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{-1}=-1, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-4}{-1}=4.
Aplicamos as operações nas linhas:
Para a linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - m_{21}\,\text{L}_1 = \text{L}_2 - (-1)\text{L}_1 = \text{L}_2 + \text{L}_1.
Calculemos termo a termo (mostrando as contas):
\begin{array}{l} \text{novo }a_{21}=1+(-1)=0,\\[4pt] \text{novo }a_{22}=3+2=5,\\[4pt] \text{novo }a_{23}=0+2=2,\\[4pt] \text{novo }b_{2}=4+(-1)=3. \end{array}
Para a linha 3: \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - m_{31}\,\text{L}_1 = \text{L}_3 - 4\text{L}_1.
Calculemos:
\begin{array}{l} \text{novo }a_{31}=-4-4(-1)=-4-(-4)=0,\\[4pt] \text{novo }a_{32}=1-4\cdot 2=1-8=-7,\\[4pt] \text{novo }a_{33}=1-4\cdot 2=1-8=-7,\\[4pt] \text{novo }b_{3}=-3-4(-1)=-3-(-4)=1. \end{array}
Após essas operações o sistema aumentado fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -7 & -7 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o segundo pivô é a_{22}=5, que também é diferente de zero (logo ainda sem pivoteamento). Vamos eliminar o elemento abaixo dele ( a_{32}=-7).
O multiplicador é
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-7}{5}=-\frac{7}{5}.
A operação é \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - m_{32}\,\text{L}_2 = \text{L}_3 - \left(-\tfrac{7}{5}\right)\text{L}_2 = \text{L}_3 + \tfrac{7}{5}\text{L}_2.
Calculemos cada entrada (fazendo com frações para ficar exato):
Para os coeficientes:
\begin{array}{l} \text{novo }a_{31}=0 + \tfrac{7}{5}\cdot 0 = 0,\\[6pt] \text{novo }a_{32}=-7 + \tfrac{7}{5}\cdot 5 = -7 + 7 = 0,\\[6pt] \text{novo }a_{33}=-7 + \tfrac{7}{5}\cdot 2 = -7 + \tfrac{14}{5} = -\tfrac{35}{5} + \tfrac{14}{5} = -\tfrac{21}{5}. \end{array}
Para o termo independente:
\text{novo }b_{3}=1 + \tfrac{7}{5}\cdot 3 = 1 + \tfrac{21}{5} = \tfrac{5}{5} + \tfrac{21}{5} = \tfrac{26}{5}.
Agora o sistema aumentado está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{21}{5} & \dfrac{26}{5} \end{array}\right].]

Passo 5

Explicando a etapa de retro-substituição: com um sistema triangular superior podemos resolver desde a última equação para cima. Escrevemos as equações correspondentes às linhas:
Terceira linha:
-\frac{21}{5}x_{3}=\frac{26}{5}.
Segunda linha:
5x_{2}+2x_{3}=3.
Primeira linha:
- x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = -1.

Passo 6

Resolver a terceira equação para x_{3}. Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar denominadores:
-21x_{3}=26 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-\frac{26}{21}.
Expliquei: aqui isolamos x_{3} dividindo por -21.

Passo 7

Agora substituímos x_{3} na segunda equação para obter x_{2}:
5x_{2}+2x_{3}=3.
Substituindo x_{3}=-\dfrac{26}{21}:
5x_{2}+2\left(-\frac{26}{21}\right)=3 \quad\Rightarrow\quad 5x_{2}-\frac{52}{21}=3.
Escrevendo 3 com denominador 21: 3=\dfrac{63}{21}. Então
5x_{2}=\frac{63}{21}+\frac{52}{21}=\frac{115}{21}.
Dividindo por 5:
x_{2}=\frac{115}{21}\cdot\frac{1}{5}=\frac{115}{105}=\frac{23}{21}.
(Observe que simplificamos dividindo numerador e denominador por 5.)

Passo 8

Finalmente encontramos x_{1} usando a primeira equação:
- x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = -1.
Isolando x_{1}:
x_{1}=1 + 2x_{2} + 2x_{3}.
Substituindo x_{2}=\dfrac{23}{21} e x_{3}=-\dfrac{26}{21}:
2x_{2}=2\cdot\frac{23}{21}=\frac{46}{21},\qquad 2x_{3}=2\cdot\left(-\frac{26}{21}\right)=-\frac{52}{21}.
Somando:
2x_{2}+2x_{3}=\frac{46}{21}-\frac{52}{21}=-\frac{6}{21}=-\frac{2}{7}.
Logo
x_{1}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}.

Resposta

\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(\frac{5}{7},\;\frac{23}{21},\;-\frac{26}{21}\right)

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