Determinar a solução do sistema utilizando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente. Precisamos encontrar a solução usando eliminação de Gauss sem pivoteamento. Dados relevantes:
O que o problema pede: determinar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, aplicando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento.]
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (aula rápida): eliminação de Gauss transforma o sistema numa forma triangular superior realizando operações elementares sobre as linhas. Para zerar uma entrada a_{ji} (linha j, coluna i) usamos o multiplicador
m_{ji}=\frac{a_{ji}}{a_{ii}},
onde a_{ii} é o pivô (elemento da diagonal na linha i). A operação na linha j é
Isso preserva as soluções do sistema. Como o enunciado pede “sem pivoteamento”, assumimos que o pivô a_{ii} nunca será zero nas etapas que fazemos; se fosse zero teríamos que trocar linhas (pivoteamento), mas aqui não será necessário — vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Escrevendo o sistema aumentado (matriz dos coeficientes junto com o termo independente) para trabalhar:
Para a linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - m_{21}\,\text{L}_1 = \text{L}_2 - (-1)\text{L}_1 = \text{L}_2 + \text{L}_1.
Calculemos termo a termo (mostrando as contas):
Explicando a etapa de retro-substituição: com um sistema triangular superior podemos resolver desde a última equação para cima. Escrevemos as equações correspondentes às linhas:
Terceira linha:
-\frac{21}{5}x_{3}=\frac{26}{5}.
Segunda linha:
5x_{2}+2x_{3}=3.
Primeira linha:
- x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = -1.
Passo 6
Resolver a terceira equação para x_{3}. Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar denominadores: