Seja o sistema linear
l 10 x1+2 x2-x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?

Passo 1

Beleza! O enunciado dá um sistema linear 3×3:
Aqui a matéria é o Método de Jacobi e o critério de convergência por linhas (diagonal dominante). Para decidir se Jacobi converge, a gente só precisa conferir se, em cada linha da matriz dos coeficientes, o módulo do elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos daquela linha.

Passo 2

Vamos lembrar do critério de diagonal dominante por linhas. Dada a matriz |aii| ;>; sumjneq i |aij| , ela é estritamente diagonal dominante se, para todo , valer:
Se isso for verdade em todas as linhas, o Método de Jacobi é garantido como convergente.

Passo 3

Agora aplicamos isso linha a linha na nossa matriz
A = 10 & 2 & -1 1 & 5 & 1 2 & 3 & 10
Linha 1: |10| stackrel?> |2| + |-1| = 2 + 1 = 3 .
|5| stackrel?> |1| + |1| = 1 + 1 = 2
Como |10| stackrel?> |2| + |3| = 2 + 3 = 5 , ok.
Linha 2: .
Como , ok.
Linha 3: .
Como , ok.

Passo 4

Todas as três linhas satisfazem . Isso significa que a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas.

Resposta

Sim, o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, pois a matriz dos coeficientes é estritamente diagonal dominante em todas as linhas.

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