É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
Passo 1
Beleza! O enunciado dá um sistema linear 3×3:
Aqui a matéria é o Método de Jacobi e o critério de convergência por linhas (diagonal dominante). Para decidir se Jacobi converge, a gente só precisa conferir se, em cada linha da matriz dos coeficientes, o módulo do elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos daquela linha.
Passo 2
Vamos lembrar do critério de diagonal dominante por linhas. Dada a matriz |aii| ;>; sumjneq i |aij| , ela é estritamente diagonal dominante se, para todo , valer:
Se isso for verdade em todas as linhas, o Método de Jacobi é garantido como convergente.
Passo 3
Agora aplicamos isso linha a linha na nossa matriz
A = 10 & 2 & -1 1 & 5 & 1 2 & 3 & 10
Linha 1: |10| stackrel?> |2| + |-1| = 2 + 1 = 3 .
|5| stackrel?> |1| + |1| = 1 + 1 = 2
Como |10| stackrel?> |2| + |3| = 2 + 3 = 5 , ok.
Linha 2: .
Como , ok.
Linha 3: .
Como , ok.
Passo 4
Todas as três linhas satisfazem . Isso significa que a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas.
Resposta
Sim, o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, pois a matriz dos coeficientes é estritamente diagonal dominante em todas as linhas.