Resolva o sistema linear abaixo utilizando a fatoração LU com pivoteamento parcial:
Determine x tal que A x=b.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente resolver o sistema
A x = b
com A=2&4&14&10&21&2&5, b=61410
usando fatoração LU com pivoteamento parcial.
Conteúdo: decompor em , onde é a matriz de permutação (pivoteamento), é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. Depois a gente resolve (substituição pra frente) e (substituição pra trás).
Passo 2
Primeiro, encontramos o pivô na coluna 1 entre as linhas 1,2,3. O maior valor em módulo é 0&1&01&0&00&0&1 na linha 2. Então permutamos linha 1 com linha 2: PA=4&10&22&4&11&2&5,
e
l21=tfrac24=0.5, l31=tfrac14=0.25
Agora calculamos multiplicadores para zerar abaixo do pivô 4: linha 2 (2,4,1)-0.5,(4,10,2)=(0,-1,0), linha 3 (1,2,5)-0.25,(4,10,2)=(0,-0.5,4.5)
Atualizamos linhas: 4 & 10 & 2 0 & -1 & 0 0 & -0.5 & 4.5
Temos agora
$$
l32=-0.5-1=0.5, .
$$
Na coluna 2, entre as linhas 2 e 3, o maior pivô em módulo é linha 3 (0,-0.5,4.5)-0.5,(0,-1,0)=(0,0,4.5) (linha 2), então não trocamos nada. Fazemos U= 4&10&2 0&-1&0 0&0&4.5 , L= 1&0&0 0.5&1&0 0.25&0.5&1
e zeramos:
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