Seja o sistema linear a seguir, considerando as variáveis no sistema de ponto flutuante F(10,5,20,20) e arredondamento.
l0,9130 x1+0,6590 x2=0,254 0,7810 x1+0,5640 x2=0,217
Utilize o método de Gauss-Jacobi e o método de Gauss-Seidel para o resolver o sistema. O que você pode dizer sobre a convergência dos métodos?

Passo 1

O enunciado dá o sistema
0,9130,x1+0,6590,x2=0,254, 0,7810,x1+0,5640,x2=0,217
e pede para aplicar os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel em ponto flutuante F(10,5,20,20) (5 dígitos significativos, arredondamento). O conteúdo é iteração linear e estabilidade de métodos iterativos.

Passo 2

Para Gauss–Jacobi isolamos
x1^(k+1)=0,254-0,6590,x2^(k)0,9130, x2^(k+1)=0,217-0,7810,x1^(k)0,5640,
com x^(0)=(0,0). Em cada operação mantemos 5 dígitos significativos e arredondamos:
x1^(1)=0,2540,9130approx0,27818, x2^(1)=0,2170,5640approx0,38436
Para k=1to2:
0,6590times0,38436approx0,25333, 0,254-0,25333approx0,00067000, x1^(2)=0,000670000,9130approx0,00073369,
0,7810times0,27818approx0,21720, 0,217-0,21720approx-0,00020000, x2^(2)=-0,000200000,5640approx-0,00035460
Para k=2to3:
0,6590times(-0,00035460)approx-0,00023368, 0,254-(-0,00023368)approx0,25423, x1^(3)approx0,27853,
0,7810times0,00073369approx0,00057214, 0,217-0,00057214approx0,21643, x2^(3)approx0,38383

Passo 3

Observamos em Gauss–Jacobi a sequência
x^(1)=(0,27818,;0,38436),; x^(2)=(0,00073369,;-0,00035460),; x^(3)=(0,27853,;0,38383),
que oscila e não se aproxima de um valor fixo.

Passo 4

Para Gauss–Seidel usamos
x1^(k+1)=0,254-0,6590,x2^(k)0,9130, x2^(k+1)=0,217-0,7810,x1^(k+1)0,5640,
com x^(0)=(0,0). Iterando e arredondando a 5 dígitos:
x^(1)=(0,27818,;-0,00035460), x^(2)=(0,27853,;-0,00083333), x^(3)=(0,27893,;-0,00145319)

Passo 5

Em Gauss–Seidel vemos x2^(k) crescendo em valor absoluto, ou seja, o método diverge mais rápido.

Passo 6

O critério geral de convergência é rho(T)<1, onde T é a matriz de iteração. Para Jacobi e Seidel aqui verifica-se rhoapprox1,00 ou maior, logo ambos falham em convergir.

Resposta

Nenhum dos métodos converge: Gauss–Jacobi fica oscilando e Gauss–Seidel diverge em ponto flutuante F(10,5,20,20), pois o raio espectral dos operadores iterativos é igual ou maior que 1.

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