Verifique se a matriz dos sistemas abaixo tem convergência garantida pelos métodos numéricos iterativos. Aplique os critérios de linhas e de Sassenfeld.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz dos coeficientes
A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30
tem convergência garantida pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel.
Para isso, vamos usar dois critérios:
– O critério de dominância de linhas (que assegura convergência de Jacobi e, a fortiori, de Gauss–Seidel).
– O critério de Sassenfeld (que assegura convergência de Gauss–Seidel).
Passo 2
Aplicando o critério de dominância de linhas, checamos cada linha de A:
Para a primeira linha,
|a11| = 20 > |a12| + |a13| = 7 + 9 = 16
Para a segunda linha,
|a22| = 30 > |a21| + |a23| = 7 + 8 = 15
Para a terceira linha,
|a33| = 30 > |a31| + |a32| = 9 + 8 = 17
Como em todas as linhas o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos, A é estritamente diagonal dominante por linhas. Logo, os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel convergem.
Passo 3
Agora o critério de Sassenfeld. Definimos os coeficientes betai pela fórmula
Como todos os betai são menores do que 1, o critério de Sassenfeld também garante convergência do método de Gauss–Seidel.
Resposta
A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas, portanto convergem Jacobi e Gauss–Seidel.
Além disso, o critério de Sassenfeld dá beta1=0,8, beta2approx0,4533 e beta3approx0,3609, todos <1, confirmando a convergência de Gauss–Seidel.