Verifique se a matriz dos sistemas abaixo tem convergência garantida pelos métodos numéricos iterativos. Aplique os critérios de linhas e de Sassenfeld.
l20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz dos coeficientes
A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30
tem convergência garantida pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel.
Para isso, vamos usar dois critérios:
– O critério de dominância de linhas (que assegura convergência de Jacobi e, a fortiori, de Gauss–Seidel).
– O critério de Sassenfeld (que assegura convergência de Gauss–Seidel).

Passo 2

Aplicando o critério de dominância de linhas, checamos cada linha de A:
Para a primeira linha,
|a11| = 20 > |a12| + |a13| = 7 + 9 = 16
Para a segunda linha,
|a22| = 30 > |a21| + |a23| = 7 + 8 = 15
Para a terceira linha,
|a33| = 30 > |a31| + |a32| = 9 + 8 = 17
Como em todas as linhas o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos, A é estritamente diagonal dominante por linhas. Logo, os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel convergem.

Passo 3

Agora o critério de Sassenfeld. Definimos os coeficientes betai pela fórmula
betai = sumj<i|aij|;betaj + sumj>i|aij||aii|,
começando por beta1 com sumj<1=0.
Calculamos
beta1 = |a12| + |a13||a11| = 7 + 920 = 0,8
beta2 = |a21|beta1 + |a23||a22| = 7cdot0,8 + 830 = 13,630 approx 0,4533
beta3 = |a31|beta1 + |a32|beta2|a33| = 9cdot0,8 + 8cdot0,453330 approx 10,826730 approx 0,3609
Como todos os betai são menores do que 1, o critério de Sassenfeld também garante convergência do método de Gauss–Seidel.

Resposta

A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas, portanto convergem Jacobi e Gauss–Seidel.
Além disso, o critério de Sassenfeld dá beta1=0,8, beta2approx0,4533 e beta3approx0,3609, todos <1, confirmando a convergência de Gauss–Seidel.

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